Arco (topologia)

Il punto iniziale dell'arco è ${\displaystyle f(0)}$ , mentre il punto finale è ${\displaystyle f(1)}$ . Se ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  sono due punti di ${\displaystyle X}$  (anche coincidenti), un "arco da ${\displaystyle x}$  a ${\displaystyle y}$ " è un arco in ${\displaystyle X}$  il cui punto iniziale è ${\displaystyle x}$  e il cui punto finale è ${\displaystyle y}$ . Se ${\displaystyle x=y}$ , si parla di cammino chiuso, o di cappio o di laccio.

Notiamo che un arco non è solamente un sottoinsieme di ${\displaystyle X}$ , ma una funzione da ${\displaystyle I}$  in ${\displaystyle X}$ : possono esistere archi diversi ma con lo stesso punto iniziale e finale e con la stessa immagine.

Uno spazio topologico in cui per ogni coppia ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  di punti esiste un arco avente questi come punti iniziale e finale è detto connesso per archi; poiché ogni punto è contenuto in un massimo sottospazio connesso per archi, ogni spazio topologico può essere decomposto in modo unico in componenti connesse per archi. L'insieme delle componenti connesse per archi di ${\displaystyle X}$  viene denotato con il simbolo ${\displaystyle \pi _{0}(X)}$ .

Due archi ${\displaystyle f}$  e ${\displaystyle g}$  di ${\displaystyle x}$  tali che ${\displaystyle f(1)=g(0)}$  possono essere composti, dando luogo ad un nuovo arco ${\displaystyle h=f\ast g}$ , che può essere visto come l'arco ottenuto percorrendo prima ${\displaystyle f}$  e poi ${\displaystyle g}$ : formalmente, ${\displaystyle h}$  è la funzione da ${\displaystyle [0,1]}$  a ${\displaystyle X}$  tale che

${\displaystyle h(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}}$ .

Questa operazione non è associativa: infatti, ${\displaystyle (f\ast g)\ast h}$  e ${\displaystyle f\ast (g\ast h)}$  hanno lo stesso supporto, ma viaggiano a "velocità diverse": la prima percorre ${\displaystyle f}$  in un tempo ¼, quindi ${\displaystyle g}$  in un altro ¼, e ${\displaystyle h}$  in tempo 1/2; la seconda invece percorre ${\displaystyle f}$  in tempo ${\displaystyle 1/2}$  e le altre due ciascuna in tempo ${\displaystyle 1/4}$ .

Per risolvere questo problema si introduce la relazione di equivalenza omotopica tra archi, che permette tra l'altro di riparametrizzare gli archi. L'insieme dei cammini chiusi con punto iniziale ${\displaystyle x_{0}}$ , modulo omotopia, è chiamato gruppo fondamentale di ${\displaystyle X}$  con base ${\displaystyle x_{0}}$ , ed è denotato con ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ ; se ${\displaystyle X}$  è connesso per archi allora la classe di isomorfismo di questo gruppo non dipende dal punto ${\displaystyle x_{0}}$  scelto.

• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

• Spazio connesso per archi
• Spazio semplicemente connesso
• Omotopia
• Gruppo fondamentale

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