[go: up one dir, main page]
More Web Proxy on the site http://driver.im/Vai al contenuto

Teoria di Hodge

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, la teoria di Hodge, che prende il nome da William Hodge, è un modo di studiare le forme differenziali su una varietà liscia . In termini più specifici, cerca di comprendere le conseguenze sui gruppi di coomologia di , a coefficienti reali, a seguito di una teoria di equazioni alle derivate parziali su operatori laplaciani generalizzati associata a una metrica riemanniana su .

La teoria fu sviluppata da Hodge negli anni trenta come estensione della coomologia di de Rham, e trova applicazione soprattutto in tre campi:

Inizialmente, si richiedeva che fosse una varietà senza bordo compatta. In tutti e tre i campi la teoria di Hodge si è dimostrata assai feconda, perfezionata e arricchita da Kunihiko Kodaira (sia in Giappone sia all'Institute for Advanced Study di Princeton, sotto l'influenza di Hermann Weyl) e da molti altri in seguito.

Applicazioni ed esempi

[modifica | modifica wikitesto]

Coomologia di de Rham

[modifica | modifica wikitesto]
Lo stesso argomento in dettaglio: Coomologia di de Rham.

La formulazione originale della teoria di Hodge riguardava il complesso di de Rham. Se è una varietà compatta orientabile, dotata di una metrica liscia e è il fascio delle forme differenziali lisce di grado su , il complesso di de Rham è la successione degli operatori differenziali

dove denota la derivata esterna su . La coomologia di de Rham è dunque la successione di spazi vettoriali

Si può anche definire l'aggiunto formale dell'operatore ,chiamato codifferenziale, come segue. Per tutti gli si richiede che

dove è la metrica indotta su . Il laplaciano di Hodge è quindi definito come ; è lecito quindi definire lo spazio delle forme armoniche

Dato che , esiste un'applicazione lineare canonica , che per il teorema di Hodge nella versione classica è un isomorfismo di spazi vettoriali. In altre parole, per ogni classe di coomologia di de Rham su , c'è un unico rappresentante armonico.

Una delle conseguenze più importanti di questa affermazione è che i gruppi di coomologia di de Rham su una varietà compatta hanno dimensione finita; questo segue dal fatto che gli operatori di tipo laplaciano solo ellittici, ed il nucleo di un operatore ellittico su di una varietà compatta è sempre finito-dimensionale.

Teoria di Hodge su complessi ellittici

[modifica | modifica wikitesto]

In generale, la teoria di Hodge si applica ad ogni complesso ellittico su una varietà compatta.

Siano fibrati vettoriali, dotati di metriche, definiti su di una varietà compatta con forma volume .

Supponiamo che

siano operatori differenziali sulle sezioni di questi fibrati vettoriali, che la successione indotta

sia un complesso ellittico. Introduciamo allora le somme dirette

e sia l'aggiunto di . Definiamo l'operatore ellittico ; come nel caso classico, questa definizione permette di considerare lo spazio delle sezioni armoniche

Chiamiamo allora la proiezione ortogonale e la funzione di Green relativa a .

Il teorema di Hodge asserisce quindi che:

  1. e sono ben definite.
  2. ,
  3. La coomologia del complesso ellittico è canonicamente isomorfa allo spazio vettoriale delle sezioni armoniche, cioè , nel senso che ogni classe di coomologia ha un unico rappresentante armonico.

Strutture di Hodge

[modifica | modifica wikitesto]

È possibile dare una definizione astratta per una struttura di Hodge reale: se è uno spazio vettoriale reale, una struttura di Hodge di peso su è una decomposizione in somma diretta di (la complessificazione di ) in sommandi con , in modo che la coniugazione complessa su scambi questo sottospazio con il sommando .

Il risultato fondamentale in geometria algebrica prova quindi che i gruppi di coomologia singolare a coefficienti reali di una varietà proiettiva complessa sono dotati di una simile struttura di Hodge, avendo la richiesta decomposizione in sottospazi complessi . Passando alle dimensioni, e considerando i numeri del Betti

dove

La successione dei numeri del Betti diviene quindi un diamante di Hodge di numeri di Hodge che crescono in due direzioni.

Tale graduazione a doppio indice deriva inizialmente dalla teoria delle forme armoniche, che sono dei rappresentanti privilegiati in una coomologia di de Rham (generalizzando le funzioni armoniche, che devono essere localmente costanti in una varietà compatta, in virtù del principio di massimo). Nei lavori successivi (Dolbeault) è stato mostrato che la decomposizione di Hodge sopra illustrata può essere rivista nei termini dei gruppi di coomologia dei fasci in cui è il fascio delle -forme olomorfe. Con questo procedimento viene data una interpretazione più algebrica della decomposizione di Hodge, senza far uso del laplaciano di Hodge.

Nel caso in cui la varietà non sia compatta o presenti delle singolarità, la struttura di Hodge deve essere rettificata tramite una struttura di Hodge mista, dove la somma diretta bigraduata viene sostituita da una coppia di filtrazioni. Un simile procedimento è tipicamente utilizzato, ad esempio, in questioni di monodromia.

Voci correlate

[modifica | modifica wikitesto]
Controllo di autoritàLCCN (ENsh85061345 · GND (DE4135967-7 · BNF (FRcb12219653d (data) · J9U (ENHE987007562977705171
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica