Ipocicloide

L'ipocicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle rullette ossia delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da un punto di una circonferenza che rotola sulla parte interna di un'altra circonferenza. Essa è un caso particolare di ipotrocoide.

La rappresentazione parametrica di un'ipocicloide generata da una circonferenza di raggio ${\displaystyle b}$ che rotola (senza strisciare) su di una circonferenza di raggio ${\displaystyle a}$ (con ${\displaystyle a>b}$) è data da:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\left(a-b\right)\cos \phi +b\cos \left({\frac {a-b}{b}}\phi \right)\\y=\left(a-b\right)\sin \phi -b\sin \left({\frac {a-b}{b}}\phi \right).\end{cases}}}$

L'ipocicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi.

Se ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ è un numero razionale allora l'ipocicloide è una curva chiusa con ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ cuspidi. In particolare se ${\displaystyle {\frac {a}{b}}=n\in \mathbb {N} ,}$ allora l'ipocicloide ha ${\displaystyle n}$ cuspidi; invece se ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q\smallsetminus Z} ,}$ allora l'ipocicloide ha un numero di cuspidi pari al numeratore della frazione ai minimi termini che deriva da ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ (quindi supponendo ${\displaystyle (a,b)=1}$ abbiamo esattamente ${\displaystyle a}$ cuspidi). Se invece ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ è un numero irrazionale la curva non si chiude mai.

• Rulletta
• Ipotrocoide
• Cicloide
• Epicicloide
• Astroide

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su ipocicloide

• (EN) Eric W. Weisstein, Ipocicloide, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Ipocicloide, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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