Arg max

In matematica, gli argomenti del massimo (abbreviato come arg max) sono i punti di un dato argomento per i quali una data funzione raggiunge il suo massimo:^[1]

Dato un insieme di punti ${\displaystyle X}$, l'argomento del massimo è dato da

${\displaystyle {\underset {x\in X}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\ |\ \forall y:f(y)\leq f(x)\}.}$

In altre parole, è l'insieme dei valori di ${\displaystyle x}$ per i quali ${\displaystyle f(x)}$ raggiunge il suo più alto valore ${\displaystyle M}$. Per esempio, se ${\displaystyle f(x)}$ è ${\displaystyle 1-|x|}$, raggiungerà il suo valore massimo ${\displaystyle 1}$ per ${\displaystyle x=0}$ e solo in quel punto, quindi

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}}$.

Equivalentemente, se ${\displaystyle M}$ è il massimo di ${\displaystyle f}$, allora l'arg max è l'insieme di livello del suo massimo:

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=f^{-1}(M)=\{x\ |\ f(x)=M\}.}$

Se il massimo è raggiunto per un singolo valore, allora ci si riferisce a tale punto come il massimo argomento, cioè si definisce l'arg max come un punto, non un insieme di punti. Così, per esempio,

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}(x(10-x))=5,}$

(piuttosto che il singoletto ${\displaystyle \{5\}}$), poiché il valore massimo di ${\displaystyle x(10-x)}$ è ${\displaystyle 25}$, il quale si ottiene per ${\displaystyle x=5}$.^[2]

Tuttavia, nel caso in cui il massimo fosse raggiunto in molti valori, arg max è un insieme di punti.

Quindi, si ha per esempio

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \},}$

poiché il valore massimo di ${\displaystyle \cos(x)}$ è ${\displaystyle 1}$, il quale si ottiene per ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle 2\pi }$ o ${\displaystyle 4\pi }$. Sull'intera retta reale, l'arg max è ${\displaystyle \{2k\pi \}}$, con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Si noti inoltre che le funzioni, in generale, non raggiungono un valore massimo, e quindi in generale non hanno un massimo argomento: ${\displaystyle \operatorname {arg\,max} _{x\in \mathbb {R} }x}$ non è definito, così ${\displaystyle x}$ è illimitato sulla retta reale. Tuttavia, per il teorema di Weierstrass (o per le proprietà degli spazi compatti), una funzione continua su un compatto ammette massimo, e quindi un arg max.

Similmente arg min sta per argomento del minimo, ed è definito in modo del tutto analogo. Per esempio,

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\ |\ \forall y:f(y)\geq f(x)\}.}$

sono i valori di ${\displaystyle x}$ per i quali ${\displaystyle f(x)}$ raggiunge il suo valore minimo.

• ${\displaystyle \arg \max _{x}\{-f(x)\}=\arg \min _{x}f(x)}$.
• Invarianza rispetto alle costanti additive: ${\displaystyle \arg \max _{x}\{f(x)+a\}=\arg \max _{x}f(x)}$ per ogni ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$.
• Invarianza rispetto alle costanti moltiplicative positive: ${\displaystyle \arg \max _{x}\{cf(x)\}=\arg \max _{x}\{f(x)\}}$ per ogni ${\displaystyle c>0}$.
• Più in generale, se ${\displaystyle g}$ è una funzione continua strettamente monotona^[3] e ${\displaystyle g(f(x))}$ è ben definita, allora

${\displaystyle \arg \max _{x}\{g(f(x))\}=\arg \max _{x}\{f(x)\}.}$

• Massimo e minimo di una funzione
• Moda (statistica)
• Ottimizzazione (matematica)

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