Einn

Einn er minnsta og mikilvægasta náttúrlega talan, táknuð með tölustafnum 1. Sumir telja reyndar núll vera minnstu náttúrlegu töluna. Næsta náttúrlega talan er 2. Táknar einingu, þ.e. stakan hlut og við talning er alltaf byrjað á einum, en síðan bætist talan einn við hverja nýja einingu sem talin er. Er hlutleysa margföldunar og veldis og sem nefnari við deilingu. Er minnsta ferningstalan.

Talan einn er táknuð með I í rómverska talnakerfinu.

• Eitt tveggja tákna í tvíundakerfinu ásamt 0.

• Sætistalan fyrir vetni.

Mögulegt er að setja töluna einn fram með óendanlegu tugabroti, t.d. 1,000..., eða 0,999... .

Skoðum nánar röksemdafærslun hvers vegna talan 0,999... þar sem níu endurtekur sig út í hið óendanlega er í nákvæmlega jöfn tölunni einn. Hægt er að tákna þetta á marga vegu:

${\displaystyle 0.{\overline {9}}=0.{\underline {9}}=0.{\dot {9}}=0.(9)}$

Ein ástæða fyrir því að óendanlegir aukastafnir eru nauðsynleg viðbót við endanlega aukastafi er til þess að túlka brot. Með því að nota deilingu með mörgum skrefum, þá verður einföld deiling heiltalna eins og ¹⁄₃ að aukastöfum sem endurtaka sig 0.333…, en hérna endurtaka aukastafnir sig að endalausu. Þessir aukastafir veita hæglega sönnun fyrir því að 0.999… = 1. Það að margfalda 3 með 0.333… lætur alla þristana verða að níum. Þar af leiðir er 0.333… sinnum 3 það sama og 0.999…. 3 × ¹⁄₃ er 1, þannig ${\displaystyle 0.999\dots =1}$.^[1]

Annað form þessarar sönnunnar margfaldar ¹/₉ = 0.111… með 9.

${\displaystyle {\begin{aligned}0.333\dots &={\frac {1}{3}}\\3\times 0.333\dots &=3\times {\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1}{3}}\\0.999\dots &=1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0.111\dots &={\frac {1}{9}}\\9\times 0.111\dots &=9\times {\frac {1}{9}}={\frac {9\times 1}{9}}\\0.999\dots &=1\end{aligned}}}$

Auðveldari útgáfa þessarar sönnunar er byggð á eftirfarandi jöfnum:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {9}{9}}&=1\\{\frac {9}{9}}&=9\times {\frac {1}{9}}=9\times 0.111\dots =0.999\dots \end{aligned}}}$

Fyrst báðar jöfnurnar eru sannar og venslaðar gegnvirkt hlýtur 0.999… að jafngilda 1. Eins, ³/₃ = 1, og ³/₃ = 0.999…. Þannig, 0.999… hlítur að jafngilda 1.

Þegar tala er táknuð með aukastöfum er margfölduð með 10 þá breytast tölustafirnir en komman færist eitt sæti til hægri. Þess vegna jafngildir 10 × 0.999… = 9.999…, sem er 9 meira en hin upprunalega tala.

Til að sjá þetta skýrar má hugsa sér að draga 0.999… frá 9.999…. Mismunurinn er nákvæmlega 9. Loka skrefið notast við algebru.

Hér köllum við töluna með aukastafina (0.999…) c. Þá hljóta 10c − c að vera 9. Þetta eru sömu 9c = 9. Ef við deilum báðum megin með 9 þá fáum við sönnunina: c = 1.^[1] Ef við ritum þetta sem röð jafna fáum við;

${\displaystyle {\begin{aligned}c&=0.999\ldots \\10c&=9.999\ldots \\10c-c&=9.999\ldots -0.999\ldots \\9c&=9\\c&=1\\0.999\ldots &=1\end{aligned}}}$

1. ↑ ^{1,0 1,1} cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.

• „Er talan 0,9999999.... = 1?“. Vísindavefurinn.
• „Er hægt að sanna að 0,999... = 1 með venjulegum reikningsaðferðum?“. Vísindavefurinn.

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.