Teorema Green

Misalkan ${\displaystyle C}$  adalah sebuah kurva tertutup sederhana di sebuah bidang, bersifat mulus bagian-demi-bagian (piecewise), dan berorientasi positif, dan misalkan ${\displaystyle D}$  adalah daerah yang dibatasi oleh ${\displaystyle C}$ . Jika ${\displaystyle L}$  dan ${\displaystyle M}$  adalah fungsi terhadap ${\displaystyle (x,\,y)}$  yang terdefinisi pada daerah terbuka yang mencakup D dan memiliki turunan parsial yang kontinu disana, maka$${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dx\,dy}$$ dengan arah integrasi sepanjang ${\displaystyle C}$  bersifat berlawanan jarum jam.^[2][3]

Dalam fisika, teorema Green diterapkan dalam banyak hal. Salah satunya dalam menyelesaikan integral aliran dua-dimensi, yang menyatakan bahwa jumlah aliran fluida yang keluar dari sebuah volume sama dengan jumlah aliran yang terjadi pada permukaan volume tersebut. Sedangkan dalam survey wilayah, teorema Green dapat digunakan untuk menentukan luas dan titik pusat bidang hanya dengan mengintegrasikan kelilingnya.

 

Berikut ini adalah bukti dari setengah teorema untuk daerah ${\displaystyle D}$  yang disederhanakan, sebuah daerah tipe I dimana ${\displaystyle C_{1}}$  dan ${\displaystyle C_{3}}$  adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis vertikal (panjangnya bisa saja nol). Bukti yang sama juga dapat diperoleh untuk separuh teorema yang lain ketika ${\displaystyle D}$  adalah daerah tipe II di mana ${\displaystyle C_{2}}$  dan ${\displaystyle C_{4}}$  adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis horisontal (lagi-lagi, panjangnya bisa saja nol). Dengan menyatukan kedua bagian ini, teorema ini terbukti untuk daerah tipe III (didefinisikan sebagai daerah yang merupakan gabungan tipe I dan tipe II). Kasus umum kemudian dapat disimpulkan dari kasus khusus ini dengan menguraikan D menjadi sekumpulan daerah tipe III. Jika dapat ditunjukkan bahwa hubungan

${\displaystyle \oint _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA}$

(1)

dan

${\displaystyle \oint _{C}\ M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)dA}$

(2)

bersifat benar, maka teorema Green berlaku untuk daerah ${\displaystyle D}$ . Bukti persamaan (1) dapat diperoleh untuk daerah bertipe I, dan bukti persamaan (2) untuk daerah bertipe II. Teorema Green selanjutnya dapat diperoleh dengan mudah untuk daerah bertipe III. Misalkan ${\displaystyle D}$  adalah daerah bertipe I dan dapat dinyatakan, seperti gambar disamping kanan, oleh$${\displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$$ dengan ${\displaystyle g_{1}}$  dan ${\displaystyle g_{2}}$  adalah fungsi kontinu pada ${\displaystyle [a,\,b]}$ . Dengan menghitung integral ganda pada persamaan (1):

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dA&=\int _{a}^{b}\,\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{a}^{b}\left[L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x))\right]\,dx.\end{aligned}}}$

(3)

Selanjutnya akan dihitung integral garis pada persamaan (1). Kurva ${\displaystyle C}$  dapat ditulis ulang sebagai gabungan empat kurva: ${\displaystyle C_{1}}$ , ${\displaystyle C_{2}}$ , ${\displaystyle C_{3}}$ , dan ${\displaystyle C_{4}}$ . Pada ${\displaystyle C_{1}}$ , persamaan parametrik ${\displaystyle x=x,\,y=g_{1}(x)}$  untuk ${\displaystyle a\leq x\leq b}$  dapat digunakan untuk menyatakan ${\displaystyle C_{1}}$ . Selanjutnya$${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.}$$ Pada ${\displaystyle C_{3}}$ , persamaan parametrik ${\displaystyle x=x,\,y=g_{3}(x)}$  untuk ${\displaystyle a\leq x\leq b}$  dapat digunakan untuk menyatakan kurva ini. Selanjutnya,$${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}$$ Integral atas ${\displaystyle C_{3}}$  bernilai negatif karena bergerak berlawanan arah dari ${\displaystyle b}$  menuju ${\displaystyle a}$ , sama dengan arah orientasi ${\displaystyle C}$  yang positif (berlawanan arah jarum jam). Pada ${\displaystyle C_{2}}$  dan ${\displaystyle C_{4}}$ , nilai ${\displaystyle x}$  tidak berubah, mengartikan$${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.}$$ Akibatnya,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}L\,dx&=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx\\&=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.\end{aligned}}}$

(4)

Menggabungkan hasil pada persamaan (3) dengan persamaan (4), didapatkan bukti persamaan (1) untuk daerah bertipe I. Gaya pembuktian yang mirip dapat dibuat untuk menghasilkan (2) pada daerah bertipe II. Menggabungkan kedua hasil ini, akan didapatkan untuk daerah bertipe III.

Teorema. Misalkan ${\displaystyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}}$  berorientasi positif pada kurva Jordan yang dapat diperbaiki ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$  yang memenuhi

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{ji }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{jika }}1\leq i,j\leq n{\text{ dan }}i\neq j,\end{aligned}}}$ 

dengan ${\displaystyle R_{i}}$  adalah daerah bagian dalam dari ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ . Misalkan pula ${\displaystyle D}$  sebagai ${\displaystyle D=R_{0}\smallsetminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}),}$  dan ${\displaystyle p:{\overline {D}}\longrightarrow \mathbf {R} }$  dan ${\displaystyle q:{\overline {D}}\longrightarrow \mathbf {R} }$  adalah fungsi kontinu yang batasannya (restriction) di ${\displaystyle D}$  adalah terdiferensialkan-Fréchet. Jika fungsi

${\displaystyle (x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)}$ 

terintegralkan Riemann atas ${\displaystyle D}$ , maka berlaku hubungan:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}}$ 

• Teorema Divergensi
• Teorema Stokes