Deret pangkat

Setiap polinomial dapat diekspresikan dengan mudah sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat c, meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol karena suatu deret pangkat mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya menurut definisi. Misalnya, polinomial ${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}$  dapat ditulis sebagai suatu deret pangkat sekitar pusat ${\displaystyle c=0}$  sebagai

${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,}$ 

atau sekitar pusat ${\displaystyle c=1}$  sebagai

${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}}$ ${\displaystyle +0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,}$ 

atau sesungguhnya sekitar pusat c manapun.^[1] Deret pangkat dapat dipandang seperti "polinomials dengan derajat tak terhingga," meskipun deret pangkat bukanlah polinomial.

Rumus deret geometri

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$ 

valid untuk ${\displaystyle |x|<1}$ , merupakan salah satu contoh paling penting untuk deret pangkat, sebagaimana rumus fungsi eksponensial

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$ 

dan rumus sinus

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$ 

valid untuk semua bilangan real x.

Semua deret pangkat ini juga merupakan contoh untuk deret Taylor.

Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya ${\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$  tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu deret Laurent). Demikian pula, pangkat pecahan seperti ${\displaystyle x^{1/2}}$  tidak diizinkan (tetapi lihat deret Puiseux). Koefisien-koefisien ${\displaystyle a_{n}}$  tidak diizinkan untuk bergantung kepada ${\displaystyle x}$ , jadi misalnya:

${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}$  bukan suatu deret pangkat.

Cari jari jari konvergensi dan interval konvergensi deret pangkat ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x-4)^{n}}{n}}}$ .

Pertama, lakukan uji rasio pada fungsi tersebut.

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {f(n+1)}{f(n)}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(x-4)^{n+1}}{n+1}}\div {\frac {(x-4)^{n}}{n}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n(x-4)}{n+1}}\right|.\end{aligned}}}$ 

Untuk mengisolasi fungsi ${\displaystyle x}$ , kita dapat dengan mudah menghapusnya dari limit, karena tidak bergantung pada ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\left|x-3\right|\times \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\right|\\&=\left|x-3\right|\times 1\\&=\left|x-3\right|.\end{aligned}}}$ 

Mengingat bahwa ${\displaystyle L<1}$  agar rangkaian dapat bertemu, haruslah seperti itu ${\displaystyle \left|x-3\right|<1}$  saat menyatu. Ketika Anda memiliki ekspresi bentuk ${\displaystyle \left|x+a\right|<r}$  dengan ${\displaystyle a\in \mathbb {R} a}$  Jari-jari konvergensi adalah nilai r. Jadi, radius konvergensi pada contoh tersebut adalah 1.

Interval konvergensi, di sisi lain, adalah himpunan dari semua nilai x yang rangkaiannya konvergen. Menggunakan ketidaksetaraan di atas, pasti begitu

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|x-4\right|&<1\\-1<x-4&<1\\3<x&<5.\end{aligned}}}$ 

Namun, ini tidak sesederhana yang terlihat pada pandangan pertama. Kita juga perlu memeriksa nilai batas interval untuk memeriksa apakah rangkaian tersebut menyatu untuk nilai-nilai ini. Sehingga untuk nilai ${\displaystyle x=3}$ , yaitu

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(3-4)^{n}}{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}},}$ 

yang, menggunakan uji seri bolak-balik, menyatu. Sekarang untuk ${\displaystyle x=5}$ ,

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(5-4)^{n}}{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1^{n}}{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n}},}$ 

yang, sebagai hasil standar, tidak bertemu. Demikianlah Interval konvergensi untuk ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x-4)^{n}}{n}}}$  adalah ${\displaystyle 3\leq x<5}$ 

Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel x dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat f(x) dalam pangkat (x-c) akan bersifat konvergen pada x = c. (Nilai yang benar f(c) = a₀ membutuhkan penafsiran ekspresi 0⁰ sama dengan 1.) Jika c bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan r di mana 0 < r ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja |x − c| < r dan divergen bilamana |x − c| > r. Bilangan r disebut "jari-jari konvergensi" ("radius of convergence") suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:

${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$ 

atau, secara ekuivalen,

${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}$ 

Bilamana dua fungsi f dan g didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat c yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$ 

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}$ 

maka

${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}$ 

Dengan definisi yang sama seperti di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu dapat diperoleh sebagai berikut:

${\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}$ 

${\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}$ 

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}$ 

Urutan ${\displaystyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$  dikenal sebagai konvolusi urutan ${\displaystyle a_{n}}$  dan ${\displaystyle b_{n}}$ .

Untuk pembagian, perhatikan:

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$ 

${\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}$ 

dan kemudian gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.

Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada interior ranah konvergensi. Dapat dihitung diferensial dan integral dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}$ 

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}$ 

Kedua deret ini memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.

Sebuah fungsi f didefinisikan pada sejumlah subset terbuka U dari R atau C disebut analitik jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap a ∈ U mempunyai neighborhood terbuka V ⊆ U, sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat a yang konvergen ke f(x) untuk setiap x ∈ V.

Dalam aljabar abstrak, diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada bidang bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep deret pangkat formal, suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam kombinatorika aljabar.

Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan kalkulus multivariabel. Deret pangkat di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},}$ 

di mana j = (j₁, ..., j_n) adalah vektor bilangan asli; koefisien a_(j1,...,jn) biasanya adalah bilangan real atau kompleks, dan pusat c = (c₁, ..., c_n) serta argumen x = (x₁, ..., x_n) biasanya adalah vektor real atau kompleks. Notasi multi-index yang lebih sederhana dapat ditulis

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.}$ 

Misalkan α adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkatf(x₁, x₂, …, x_n). Tingkatan (order) dari deret pangkat f didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga a_α ≠ 0, atau 0 jika f ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat f(x) dalam variabel tunggal x, tingkatan f adalah pangkat terkecil dari x dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke deret Laurent.

• Deret (matematika)
• Deret Taylor

• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Power series", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Formal Power Series". MathWorld. 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Power Series". MathWorld. 
• (Inggris)Modul deret pangkat kompleks oleh John H. Mathews
• (Inggris)Pangkat bilangan kompleks oleh Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.