Szinusztétel

A szokásos jelöléssel élve legyen T a c oldalhoz tartozó magasság talppontja (a c oldal és a hozzá tartozó magasságvonal metszete) és legyen a CT magasságszakasz hossza m. Ekkor az ATC illetve a CTB derékszögű háromszögben felírva az α illetve a β szög szinuszát kapjuk, hogy

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {m}{b}}}$  és ${\displaystyle \sin \beta ={\frac {m}{a}}}$ 

Ezt a két egyenletet elosztva egymással kapjuk, hogy

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}={\frac {\;{\cfrac {m}{b}}\;}{\cfrac {m}{a}}}={\frac {m}{b}}\cdot {\frac {a}{m}}={\frac {a}{b}}}$ 

A kicsit többet mondó, a körülírt kör sugarát tartalmazó állítás bizonyítása pedig: a körülírt kör S középpontját véve, az SAB háromszög egyenlő szárú lesz, hisz SA=SB=r; s ezért ennek S ponthoz tartozó magasságvonala (egyébként ez az AB=c oldal felezőmerőlegese) felezi a c oldalt. Legyen a c=AB oldal felezőpontja F, ekkor az SFA háromszög derékszögű (hisz elmondtuk, hogy SF merőleges AB=c-re); és S-nél lévő szöge a jelen állítástól függetlenül bizonyítható kerületi és középponti szögek tételéből adódóan γ. Felírva ebben a háromszögben e szög szinuszát: ${\displaystyle \sin(\gamma )={\frac {FB}{SB}}={\frac {\frac {c}{2}}{r}}={\frac {c}{2r}}}$ . Ebből már adódik, hogy ezt a mennyiséget c-vel osztva, épp ${\displaystyle {\frac {1}{2r}}}$ -t kell kapnunk. Eredményünket a c oldal megválasztásától függetlenül kaptuk, tehát érvényes az a, b oldalakra és az α, β szögekre is. QED.

 

A trigonometrikus területképlet felhasználásával egészen rövid bizonyítást kapunk:

Adott az ${\displaystyle ABC\triangle }$ , ahol ${\displaystyle AB=c,\,AC=b,\,BC=a}$ , valamint ${\displaystyle BAC\angle =\alpha ,\,CBA\angle =\beta ,\,ACB\angle =\gamma }$ . A köré írt kör középpontja ${\displaystyle S}$ , sugara ${\displaystyle R}$ . Vegyük fel a háromszög egyik csúcsából kiinduló átmérőt, legyen ez a csúcs ${\displaystyle A}$ ! Ekkor az átmérő másik végpontja ${\displaystyle C'}$ . Ekkor ${\displaystyle AC'B\angle =ACB\angle =\gamma }$  a kerületi szögek tétele alapján, valamint ${\displaystyle ABC'\triangle }$  derékszögű, ezt a Thalész-tétel garantálja. Ekkor a szinuszfüggvény definíciója alapján kapjuk, hogy ${\displaystyle c=2R\sin \gamma \Rightarrow {\frac {c}{\sin \gamma }}=2R}$ . Ez bármelyik oldalra igaz lesz, ebből következik a tétel.^[1] Ha ${\displaystyle \gamma }$  tompaszög, akkor a kör középpontja a háromszögön kívül fekszik, így a ${\displaystyle C'}$ -nél fekvő szög ${\displaystyle \gamma }$  mellékszöge lesz. Ez nem okoz problémát, tudván, hogy ${\displaystyle \sin \alpha =\sin(180^{\circ }-\alpha )}$ . Derékszög esetén pedig a tétel triviálisan igaz. QED

A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából – két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül – meghatározhatjuk a hiányzó negyediket. A nagyobb oldallal szemközti szög meghatározásakor két megoldást is kaphatunk, mert egy adott (1-nél kisebb) szinuszértékhez egy hegyes- és egy tompaszög is tartozik, ezért mindig mérlegelni kell, melyik megoldás jó.

• dr. Pelle Béla. Geometria. Tankönyvkiadó Vállalat (1974). ISBN 963-17-0746-6 

• Koszinusztétel
• Tangenstétel
• Kotangenstétel
• Vetületi tétel
• Mollweide-formula