Négyzetszámok

Az első 51 nem negatív egész szám négyzete a következő (A000290 sorozat az OEIS-ben):

Az n-edik négyzetszám képlete n², ami megegyezik az első n páratlan szám összegével:

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)}$ 

amit a fenti képek is szemléltetnek, hiszen a következő négyzet mindig páratlan számú pont hozzáadásával jön létre.

Két szomszédos négyzetszám különbsége mindig páratlan, még pontosabban: a négyzetszámok sorozatának különbségsorozata Δn² = 2n+1, mivel 2n+1 = (n+1)^2 - n^2, vagyis az n+1. és az n. négyzetszám különbsége (az n. és n-1. négyzetszám különbsége 2n-1).

A négyzetszámok összegsorozata – az első n pozitív négyzetszám összege ${\displaystyle S_{n^{2}}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}};}$  Ez teljes indukcióval könnyen belátható.

X darab négyzetszám szorzata is négyzetszám, ez könnyen belátható: a négyzetszámok felírhatók a*a, b*b, c*c, … alakban. Például 2 négyzetszámnál: a*a és b*b alakban felírhatók a négyzetszámok. Ezt csoportosíthatjuk (a*b)*(a*b) alakba, mely négyzetszám. 3 négyzetszámnál ugyanez igaz: a*a, b*b és c*c. Ezek csoportosíthatók (a*b*c)*(a*b*c) alakba. Már be is láttuk, hogy négyzetszám. Továbbá: a*a*b*b négyzetszám. Ezt a négyzetszámot c*c-vel szorozzuk, tehát, mivel négyzetszámot szorzunk négyzetszámmal, beláthatjuk, hogy 3 négyzetszám szorzata is négyzetszám. Ez akárhány négyzetszámra igaz, tehát x darab négyzetszám szorzata négyzetszám.

Az n. négyzetszám kiszámítható az előző kettőből a következőképpen:

n² = 2(n ‒ 1)² ‒ (n ‒ 2)² + 2

Gyakran jól használható az a tény, hogy minden szám négyzete felírható a következő alakban is:

1 + 1 + 2 + 2 + … + (n ‒ 1) + (n ‒ 1) + n

Például a 4 esetében:

4² = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16

Ezt felhasználva könnyen meghatározható viszonylag nagy számok négyzete. Például 52 négyzete a következőképpen:

52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

Egy szám négyzetének meghatározására egy másik trükk a következő azonosságra alapul:

(x ‒ y)(x + y) = x² ‒ y²

Például 21² = 22×20 + 1 = 440 + 1² = 441.

Minden négyzetszám két egymást követő háromszögszám összege. Két egymást követő négyzetszám összege középpontos négyzetszám. Minden páratlan négyzetszám középpontos nyolcszögszám.

A Lagrange-féle négy négyzet tétel szerint minden pozitív egész felírható legfeljebb 4 négyzetszám összegeként. Három négyzetszám nem elegendő a 4^k(8m + 7) alakú számokhoz. Valamely pozitív egész pontosan akkor áll elő két négyzetszám összegeként, ha a kanonikus alakja nem tartalmaz 4k + 3 alakú prímet páratlan hatványon.

Tízes számrendszerben a négyzetszámok a következő végződésűek lehetnek: 00, 1, 4, 6, 9 vagy 25 a következő szabályok szerint:

• Ha a szám utolsó számjegye 0, akkor a négyzete 00 végződésű és az azt megelőző számjegyek is négyzetszámot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 1 vagy 9, akkor a négyzete 1-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztható számot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 2 vagy 8, akkor a négyzete 4-re végződik és az azt megelőző számjegyek páros számot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 3 vagy 7, akkor a négyzete 9-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztható számot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 4 vagy 6, akkor a négyzete 6-ra végződik és az azt megelőző számjegyek páratlan számot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 5, akkor a négyzete 25-re végződik, és az azt megelőző számjegyek téglalapszámot alkotnak.

Négyzetszám nem lehet tökéletes szám.

Páros számok négyzete páros, mivel (2n)² = 4n².

Páratlan számok négyzete páratlan, mivel (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

Ebből következik az is, hogy páros négyzetszámok négyzetgyöke páros, páratlanoké páratlan.

1975-ben bizonyította Chen Jingrun, hogy két egymást követő négyzetszám n² és (n + 1)² között mindig létezik egy olyan P, amely vagy prímszám vagy félprím. (Lásd még Legendre-sejtés.)

• teljes hatvány
• sokszögszámok
• köbszámok
• Számok előállítása négyzetösszegként, Pitagoraszi számhármasok
• négyzetmentes számok
• négyzetteljes számok

• Weisstein, Eric W.: Négyzetszámok (angol nyelven). Wolfram MathWorld

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X

• Dario Alpern, Java applet, amely természetes számokat tud lebontani legfeljebb négy négyzetszám összegére.