Landau-problémák

Az 1912-es Nemzetközi Matematikai Kongresszuson Edmund Landau négy egyszerű, prímszámokkal kapcsolatos problémát vázolt föl. Beszédében ezeket a problémákat úgy jellemezte, mint amelyekkel az akkori tudomány nem képes mit kezdeni („unattackable at the present state of science”) és attól kezdve Landau-féle problémák néven ismeretesek. A Landau-problémák a következők:

Goldbach-sejtés: Felírható-e minden 2-nél nagyobb egész szám két prímszám összegeként?
Ikerprím-sejtés: Létezik-e végtelen sok p prím, melyre p + 2 is prímszám?
Legendre-sejtés: Található-e mindig legalább egy prímszám két egymást követő négyzetszám között?
Létezik-e végtelen sok p prímszám, melyre p − 1 négyzetszám? Másként fogalmazva: létezik-e végtelen sok n² + 1 alakú prímszám? (A002496 sorozat az OEIS-ben).

Jelenleg (2016) mind a négy probléma megoldatlan.

A megoldás felé vezető lépések

Goldbach-sejtés

A Vinogradov-tétel igazolja a gyenge Goldbach-sejtést kellően nagy n-ekre. 2013-ban Harald Helfgott bizonyította a gyenge sejtést minden 5-nél nagyobb páratlan számra.^[1]^[2]^[3]

A Chen-tétel kimondja, hogy kellően nagy n-re $2n=p+q$ , ahol p prím, q pedig prím vagy félprím. Montgomery és Vaughan megmutatták, hogy a kivételhalmaz (két prímszám összegével nem kifejezhető páros számok) természetes sűrűsége zéró.^[4]

Tomohiro Yamada igazolta a Chen-tétel egy explicit változatát,^[5] mely szerint minden $e^{e^{36}}\approx 1,7\cdot 10^{1872344071119348}$ páros szám felírható egy prím és egy prím vagy félprím összegeként.

Ikerprím-sejtés

Yitang Zhang^[6] megmutatta, hogy végtelen sok, egymástól legfeljebb 70 millió távolságra lévő prímpáros létezik, ezt az eredményt matematikusok összehangolt munkájával sikerült 246-os prímhézagra javítani.^[7] Ha az általánosított Elliott–Halberstam-sejtés igaz, a prímhézagot 6-ra sikerült javítani, kiterjesztve Maynard,^[8] valamint Goldston, Pintz & Yıldırım korábbi munkáit.^[9]

Chen megmutatta, hogy végtelen sok olyan p prím (későbbi nevükön Chen-prímek) létezik, melyekre p+2 prím vagy félprím.

Legendre-sejtés

Elegendő azt vizsgálni, hogy a p-vel kezdődő prímszámhézag kisebb-e, mint $2{\sqrt {p}}$ . A maximális prímhézagok táblázata alapján a sejtés biztosan igaz 4 · 10¹⁸-ig.^[10] Egy 10¹⁸ körüli ellenpéldának a szokásos prímszámhézag 50 milliószorosát kellene teljesíteni. Matomäki eredménye szerint legfeljebb $x^{1/6}$ olyan kivételes prím létezik, melyeket ${\sqrt {2p}}$ -nál nagyobb hézag követ; formálisan:

\sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>x^{1/2}}{x\leq p_{n}\leq 2x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{2/3}.

^[11]

Ingham igazolta, hogy kellően nagy n-ekre biztosan létezik prímszám $n^{3}$ és $(n+1)^{3}$ között.^[12]

Csaknem négyzetszám prímek

Az 1997-ben igazolt Friedlander–Iwaniec-tétel szerint végtelen sok $x^{2}+y^{4}$ .^[13] alakú prímszám létezik. Iwaniec megmutatta, hogy végtelen sok $n^{2}+1$ alakú szám létezik legfeljebb két prímtényezővel (tehát prímek vagy félprímek).^[14]^[15]

Az ellenkező irányt tekintve, a Brun-szita megmutatja, hogy $O({\sqrt {x}}/\log x)$ ilyen prímszám létezik x-ig.

Jegyzetek

↑ Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem" arXiv:1305.2897
↑ Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". arXiv:1205.5252
↑ Helfgott, H.A. (2013). "The ternary Goldbach conjecture is true". arXiv:1312.7748
↑ Montgomery, H. L. (1975). „The exceptional set in Goldbach's problem”. Acta Arithmetica 27, 353–370. o.
↑ Yamada, Tomohiro (2015-11-11). "Explicit Chen's theorem". arXiv:1511.03409
↑ Yitang Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (2014), pp. 1121–1174 from Volume 179 (2014), Issue 3
↑ D.H.J. Polymath (2014). „Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes”. Research in the Mathematical Sciences 1. DOI:10.1186/s40687-014-0012-7.
↑ J. Maynard, Small gaps between primes. To appear, Annals of Mathematics.
↑ Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Small Gaps between Primes Exist Archiválva 2009. március 27-i dátummal a Wayback Machine-ben. Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences 82 4 (2006), pp. 61-65.
↑ Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps.
↑ Kaisa Matomäki (2007). „Large differences between consecutive primes”. Quarterly Journal of Mathematics 58, 489–518. o. DOI:10.1093/qmath/ham021. .
↑ Ingham, A. E. (1937). „On the difference between consecutive primes”. Quarterly Journal of Mathematics Oxford 8 (1), 255–266. o. DOI:10.1093/qmath/os-8.1.255.
↑ Friedlander, John & Iwaniec, Henryk (1997), "Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial", PNAS 94 (4): 1054–1058, DOI 10.1073/pnas.94.4.1054.
↑ Iwaniec, H. (1978). „Almost-primes represented by quadratic polynomials”. Inventiones Mathematicae 47 (2), 178–188. o. DOI:10.1007/BF01578070.
↑ Robert J. Lemke Oliver (2012). „Almost-primes represented by quadratic polynomials”. Acta Arithmetica 151, 241–261. o. DOI:10.4064/aa151-3-2. ^{[halott link]}.

További információk

Weisstein, Eric W.: Landau's Problems (angol nyelven). Wolfram MathWorld

[1] Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem" arXiv:1305.2897

[2] Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". arXiv:1205.5252

[3] Helfgott, H.A. (2013). "The ternary Goldbach conjecture is true". arXiv:1312.7748

[4] Montgomery, H. L. (1975). „The exceptional set in Goldbach's problem”. Acta Arithmetica 27, 353–370. o.

[5] Yamada, Tomohiro (2015-11-11). "Explicit Chen's theorem". arXiv:1511.03409

[6] Yitang Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (2014), pp. 1121–1174 from Volume 179 (2014), Issue 3

[7] D.H.J. Polymath (2014). „Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes”. Research in the Mathematical Sciences 1. DOI:10.1186/s40687-014-0012-7.

[8] J. Maynard, Small gaps between primes. To appear, Annals of Mathematics.

[9] Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Small Gaps between Primes Exist Archiválva 2009. március 27-i dátummal a Wayback Machine-ben. Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences 82 4 (2006), pp. 61-65.

[10] Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps.

[11] Kaisa Matomäki (2007). „Large differences between consecutive primes”. Quarterly Journal of Mathematics 58, 489–518. o. DOI:10.1093/qmath/ham021. .

[12] Ingham, A. E. (1937). „On the difference between consecutive primes”. Quarterly Journal of Mathematics Oxford 8 (1), 255–266. o. DOI:10.1093/qmath/os-8.1.255.

[13] Friedlander, John & Iwaniec, Henryk (1997), "Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial", PNAS 94 (4): 1054–1058, DOI 10.1073/pnas.94.4.1054.

[14] Iwaniec, H. (1978). „Almost-primes represented by quadratic polynomials”. Inventiones Mathematicae 47 (2), 178–188. o. DOI:10.1007/BF01578070.

[15] Robert J. Lemke Oliver (2012). „Almost-primes represented by quadratic polynomials”. Acta Arithmetica 151, 241–261. o. DOI:10.4064/aa151-3-2. ^{[halott link]}.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]