Divergens sorozat

${\displaystyle (K,d)}$  metrikus tér

${\displaystyle a_{n}\in K,n\in \mathbb {N} }$  mely szerint ${\displaystyle a\ }$  tehát ${\displaystyle K\ }$  elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

${\displaystyle \forall {\alpha \in K}\ \exists {\epsilon >0}\ \forall n_{0}\in \mathbb {N} \ \exists n\in \mathbb {N} :(n>n_{0}\ \land d\left(a_{n},\alpha \right)>\epsilon )}$ 

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

${\displaystyle K}$  számtest

${\displaystyle a_{n}\in K,n\in \mathbb {N} }$  mely szerint ${\displaystyle a\ }$  tehát ${\displaystyle K\ }$  elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

${\displaystyle \forall {\alpha \in K}\ \exists {\epsilon >0}\ \forall n_{0}\in \mathbb {N} \ \exists n\in \mathbb {N} :(n>n_{0}\ \land \mid a_{n}-\alpha \mid >\epsilon )}$ 

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

Megjegyzés: minden K számtest metrikus tér a ${\displaystyle d(a,b)\ :=\ \mid a-b\mid }$  metrikával, ahol az |a-b| függvény az a,b elemek különbségének abszolútértéke; azaz |x| := {z∈K | (z=x ∨ z=-x) ∧ z>0 }.

${\displaystyle {n\in \mathbb {N} },{a_{n}\in \mathbb {R} }}$ 

${\displaystyle a_{n}={(-1)^{n}\ }}$ 

ennek a sorozatnak minden páros eleme 1, minden páratlan eleme -1

${\displaystyle a_{n}=n\ }$ 

ennek a sorozatnak nincs határértéke ${\displaystyle \mathbb {R} \ }$ -ben.

Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Valós számsorozat lényegében kétféleképpen lehet nem konvergens. Vagy azért divergens, mert nem egy, hanem több érték körül csoportosul a sorozat elemei (például az ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$  sorozat az 1 és a −1 értékeket is végtelen sokszor felveszi), az ilyen tipusú sorozatra azt mondjuk, hogy oszcillálva divergál. A másik lehetőség, mikor a sorozat elemei minden határon túl nőnek, tehát nem korlátos a sorozat. Ha egy a_n sorozatra igaz, hogy bármely 0 < N-re található olyan n₀ küszöbszám, hogyha n > n₀ akkor a_n > N, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat a plusz végtelenbe divergál. Ha a kibővített valós számok felett tekintünk erre a sorozatra, akkor a plusz végtelenbe konvergál kifejezést is használhatjuk. Például

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{2}=+\infty }$ 

A mínusz végtelenbe divergálást (konvergálást) hasonlóan értelmezzük.

• Analízis lépésről-lépésre - Konvergens, divergens sorozatok. Dr. Stettner Eleonóra, Kaposvári Egyetem (2014)
• Sorozatok - Farkas István, DEATC GazdaságelemzésiésStatisztikaiTanszék