Algebrai számelmélet

Lásd még: A számelmélet alaptétele

Legyen ${\displaystyle R}$  egy integritási tartomány. Egy ${\displaystyle p\in R}$  elemet akkor mondunk prímnek, ha

${\displaystyle \forall a,b\in R:\,p\mid ab\implies p\mid a}$  vagy ${\displaystyle p\mid b}$ .

Ez a definíció a racionális egészek gyűrűjében a prímszámokénál gyengébb definíciót ad: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  prímelemei pontosan a prímszámok és a prímszámok ellentettjei. Ez annak az általános állításnak a speciális esete, hogy ha ${\displaystyle p\in R}$  prímelem és ${\displaystyle u\in R^{\times }}$  egység, akkor ${\displaystyle up}$  is prímelem (a racionális egészek körében ${\displaystyle \pm 1}$  az egységek).

Egy ${\displaystyle x\in R}$  elemet irreducibilisnek (felbonthatatlannak) nevezünk, ha

${\displaystyle \forall y,z\in R:\,x=yz\implies y\in R^{\times }}$  vagy ${\displaystyle z\in R^{\times }}$ ,

azaz ${\displaystyle x}$ -nek nincs nemtriviális faktorizációja. Általában minden prímelem irreducibilis, de a fordított irányú implikáció nem igaz.

Azt mondjuk, hogy ${\displaystyle R}$ -ben teljesül a számelmélet alaptétele (azaz ${\displaystyle R}$  alaptételes gyűrű, illetve az angol unique factorisation domain rövidítéseként UFD), ha minden elem sorrend és egységszorzók erejéig felbontható irreducibilis elemek szorzatára. Például ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  UFD, de általános esetben ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  nem az. UFD-ben a prím- és az irreducibilis elemek megegyeznek.

Például ${\displaystyle R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ -ben 3, ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$  és ${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$  irreducibilis elemek, így

${\displaystyle 9=3\cdot 3=\left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$ 

a 9 két különböző felbontása irreducibilis elemekre. Valóban, ha a két felbontás nem lenne különböző, akkor ${\displaystyle 2\pm {\sqrt {-5}}}$  egységszerese lenne 3-nak, viszont ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ -ben a 3-mal osztható elemek ${\displaystyle 3a+3b{\sqrt {-5}}}$  alakúak (${\displaystyle a,b,\in \mathbb {Z} }$ ).

Lásd még: Dedekind-gyűrű

Ha ${\displaystyle K}$  egy számtest, akkor ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  Dedekind-gyűrű, következésképpen bármely ${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}$  ideál sorrend erejéig egyértelműen felbontható prímideálok szorzatára. Másképp fogalmazva ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ -ban a számelmélet alaptétele elemek helyett csak ideálokra teljesül.

Speciálisan ha ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  UFD, akkor minden prímideált egy prímelem generál. Következésképpen ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  akkor és csak akkor UFD, ha főideálgyűrű. (Általános esetben ez nem áll: ha egy integritási tartomány főideálgyűrű, akkor mindig UFD, de a megfordítás nem feltétlenül igaz.)

Akkor és csak akkor nincs egyértelmű prímfelbontás, ha a gyűrűben vannak olyan prímideálok, amik nem főideálok. A prímideálok nem-főideálságát méri az osztálycsoport. Ahhoz, hogy csoportstruktúrát kapjunk, az algebrai egészek gyűrűjében vett ideálok helyett egy bővebb halmazzal, a törtideálokkal dolgozunk. A törtideál fogalma az ideálénál általánosabb: egy ${\displaystyle J\subseteq K}$  részhalmaz akkor törtideál, ha additív részcsoport és zárt az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  elemeivel való szorzásra, azaz ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{K}\implies xJ\subseteq J}$ . Minden ideál törtideál, és ha ${\displaystyle I,J}$  törtideálok, akkor az ${\displaystyle IJ=\{ij\mid i\in I,j\in J\}}$  szorzatuk is törtideál. A törtideálok ezzel a szorzással csoportot alkotnak, az egységelem ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ , az inverz ${\displaystyle J^{-1}=\{x\in K\mid xJ\subseteq {\mathcal {O}}_{K}\}}$ . Az osztálycsoport rendje az osztályszám.

Bizonyos számtestek beágyazhatók a valós számtestbe; mások nem. Előbbire példa ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ , utóbbira ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})}$ . Egy ilyen beágyazás nem feltétlenül egyértelmű: a példánál maradva, ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$  kétféleképpen ágyazható be a valós számok testébe: a két beágyazást ${\displaystyle {\sqrt {2}}\mapsto {\sqrt {2}}}$  illetve ${\displaystyle {\sqrt {2}}\mapsto -{\sqrt {2}}}$  indukálja.

Mivel a komplex számok ${\displaystyle \mathbb {C} }$  teste a racionális számtest algebrai lezártja, minden ${\displaystyle K}$  számtest beágyazható a komplex számok testébe. A különböző beágyazások száma megegyezik a ${\displaystyle (K:\mathbb {Q} )}$  fokszámmal. A beágyazások közül valósnak nevezzük azokat, amiknek képe ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -ben részhalmaza ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -nek; minden más beágyazást komplexnek nevezünk. A komplex beágyazások párokat alkotnak: ha ${\displaystyle \sigma :K\hookrightarrow \mathbb {C} }$  egy beágyazás, akkor a ${\displaystyle {\bar {\sigma }}:K\hookrightarrow \mathbb {C} }$  konjugált is az, ahol ${\displaystyle {\bar {\sigma }}(x)={\overline {\sigma (x)}}}$ , és a felülvonás komplex konjugálást jelöl.

A valós beágyazások számát ${\displaystyle r_{1}}$ -gyel, a komplex konjugált beágyazáspárok számát ${\displaystyle r_{2}}$ -vel szokás jelölni. Következik, hogy ${\displaystyle r_{1}+2r_{2}=(K:\mathbb {Q} )}$ .

Azt mondjuk, hogy egy ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$  bővítésben az ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$  elemek egész bázist alkotnak, ha

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z} \alpha _{1}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} \alpha _{n}}$ .

Minden számtestben létezik egész bázis, és az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  Abel-csoport ${\displaystyle n}$  rangja megegyezik a bővítés ${\displaystyle (K:\mathbb {Q} )}$  fokával.^[1]

Legyen ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$  egy egész bázis, és legyenek ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}}$  a beágyazások, azaz a ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(K,\mathbb {C} )}$  csoport elemei. Ekkor az ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$  bázis diszkriminánsa

${\displaystyle d(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\det \left(\left(\sigma _{i}\alpha _{j}\right)_{i,j}\right)^{2}}$ .

Megmutatható, hogy ez nem függ az egész bázis választásától, így beszélhetünk a ${\displaystyle K}$  számtest diszkriminánsáról.^[2]

A fentiekkel analóg módon definiálható számtestek egy ${\displaystyle L/K}$  bővítésének relatív diszkriminánsa. A diszkrimináns fontos szereppel bír az elágazáselméletben.

Tekintsük számtesteknek egy ${\displaystyle L/K}$  bővítését. Minden ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ -beli ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$  prímideál egy ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ -beli ${\displaystyle {\mathcal {p}}}$  prímideál fölött helyezkedik el, azaz ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cap {\mathcal {O}}_{K}}$  egy prímideál. A megfordítás nem igaz: az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  egy ${\displaystyle {\mathcal {p}}}$  prímideálja által generált ${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$  ideál nem feltétlenül prím. Amint az fentebb részletezve volt, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$  Dedekind-gyűrű, következésképpen az ideál egyértelműen felírható prímideálok szorzataként, azaz

${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {P}}^{e_{i}}}$ 

valamely ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{i}}$  prímideálokra és ${\displaystyle e_{i}\geq 1}$  pozitív egészekre. Az ${\displaystyle e_{i}}$  kitevőt ekkor a ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{i}}$  elágazási indexének nevezzük. Definiáljuk továbbá ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{i}}$  inerciafokát: ez a ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$  hányadostestének mint ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  hányadosteste feletti testbővítésnek a foka, azaz

${\displaystyle f_{i}=\left({\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}:{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}\right)}$ .

Az ezekre vonatkozó fontos összefüggés a fundamentális egyenlet:

${\displaystyle (L:K)=\sum _{i=1}^{g}e_{i}f_{i}}$ 

Azt mondjuk, hogy ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  elágazik az ${\displaystyle L/K}$  bővítésben, ha ${\displaystyle e_{i}>1}$  valamely ${\displaystyle i}$ -re; máskülönben ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  el nem ágazó. Továbbá ha ${\displaystyle e_{i}=f_{i}=1}$  minden ${\displaystyle i}$ -re, akkor azt mondjuk, hogy ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  teljesen felbomlik. Az elágazási viselkedés meghatározásában központi szereppel bír a diszkrimináns: pontosan azok a prímek ágaznak el, amelyek osztják a relatív diszkriminánst. Minkowski-elméleti eszközökkel megmutatható, hogy minden ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$  testbővítés diszkriminánsa 1-nél nagyobb; következésképpen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -nak nincsen elágazásmentes bővítése.

Ha az ${\displaystyle L/K}$  bővítés Galois, akkor a ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$  fölötti prímideálok egymás Galois-konjugáltjai. Következésképpen valamennyiük az összes elágazási index megegyezik, és ugyanez igaz az inerciafokokra is.

Egy számtest Dedekind-féle zetafüggvénye a Riemann-féle zéta-függvény általánosítása számtestekre. Ennek megfelelően a számtest prímideáljainak viselkedését írja le. Egy K számtest Dedekind-zetafüggvényét először azon ${\displaystyle s}$  komplex számokra definiáljuk, amelyeknek valós része 1-nél nagyobb. Ezekre a zetafüggvényt a következő Dirichlet-sor adja meg:

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(\mathrm {N} _{K/\mathbb {Q} }(I))^{s}}}}$ 

Itt ${\displaystyle I}$  az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  gyűrű nemnulla ideáljain fut végig, és ${\displaystyle \mathrm {N} (I)=({\mathcal {O}}_{K}:I)}$  az ideál abszolút normáját jelöli. Könnyen látható, hogy a ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$  speciális esetben a Riemann-féle zetafüggvényt kapjuk. A sor minden fenti ${\displaystyle s}$ -re abszolút konvergál.

A Riemann-zetafüggvényhez hasonlóan ${\displaystyle \zeta _{K}}$  is Euler-szorzatalakba fejthető minden ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$ -re:

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{P\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-\mathrm {N} _{K/\mathbb {Q} }(P)^{-s}}},}$ 

ahol ${\displaystyle P}$  az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  prímideáljain fut végig. Az Euler-szorzatalak az ideálok prímideálok szorzatára való egyértelmű felbontásának egyenes következménye.

Hecke megmutatta, hogy ${\displaystyle \zeta _{K}}$  kiterjeszthető a komplex számsíkra meromorf függvényként, egyetlen egyszerű pólussal az ${\displaystyle s=1}$  pontban. Az ebben a pontban vett reziduumot az analitikus osztályszámképlet adja meg – ez az algebrai számelmélet egy központi eredménye.

Az algebrai számelmélet egyik klasszikus eredménye, hogy egy számtest osztálycsoportja véges. Az osztálycsoport rendjét a számtest osztályszámának nevezzük; ezt gyakran ${\displaystyle h_{K}}$ -val jelölik.

Az osztályszám végessége a Minkowski-féle rácselmélet felhasználásával látható be. Ennek felhasználásával egy ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ -beli ideál felfogható egy ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r_{1}+2r_{2}}}$ -beli ún. teljes rácsként, aminek a térfogata a diszkrimináns és az ideál indexének függvénye. A teljes rácsok térfogatáról szól Minkowski rácsponttétele, aminek felhasználásával az előbbi térfogatra adható egy egyenlőtlenség. Ez az egyenlőtlenség lehetővé teszi az osztályszám becslését, speciálisan a végesség bizonyítását.^[3]

A Dirichlet-féle egységtétel leírja az algebrai egészek ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  gyűrűjének ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$  egységcsoportját. A tétel szerint ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$  izomorf ${\displaystyle \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r_{1}+r_{2}-1}}$ -gyel, ahol ${\displaystyle \mu (K)}$  a ${\displaystyle K}$ -beli egységgyökök csoportja, ${\displaystyle r_{1}}$  a ${\displaystyle K\hookrightarrow \mathbb {R} }$  valós beágyazások száma, ${\displaystyle r_{2}}$  pedig a ${\displaystyle K\hookrightarrow C}$  komplex beágyazások számának fele. Másként megfogalmazva, az egységcsoport egy végesen generált ${\displaystyle r_{1}+r_{2}-1}$  rangú Abel-csoport, amelynek torziócsoportja pontosan a ${\displaystyle K}$ -beli egységgyökökből áll.

A tételt a Minkowski-elmélet eszközeivel lehet bizonyítani.

Legyenek ${\displaystyle \varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{r_{1}+r_{2}-1}\in {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$  az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$  szabad részének egy bázisa; ezek létezését a Dirichlet-féle egységtétel garantálja. Legyenek ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{r_{1}}}$  a valós, ${\displaystyle \sigma _{r_{1}+1},{\overline {\sigma _{r_{1}+1}}},\ldots ,\sigma _{r_{1}+r_{2}},{\overline {\sigma _{r_{1}+r_{2}}}}}$  a komplex beágyazások. Legyen ${\displaystyle \delta _{i}=1}$ , ha ${\displaystyle 1\leq i\leq r_{1}}$ , azaz ha ${\displaystyle \sigma _{i}}$  valós, és ${\displaystyle \delta _{i}=2}$ , ha ${\displaystyle r_{1}+1\leq i\leq r_{1}+r_{2}}$ , azaz ha ${\displaystyle \sigma _{i}}$  komplex. Ekkor a ${\displaystyle K}$  számtest regulátora

${\displaystyle R_{K}=R_{K}(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{r_{1}+r_{2}-1})=\left|\det \left(\left(\delta _{i}\log \left|\sigma _{i}(\varepsilon _{j})\right|\right)_{1\leq i,j\leq r_{1}+r_{2}-1}\right)\right|}$ .

Vegyük észre, hogy a mátrixból kihagytuk az ${\displaystyle r_{1}+r_{2}}$ -edik beágyazáshoz tartozó sort, és így kaptunk négyzetes mátrixot. A regulátor értéke független a kihagyott beágyazástól, valamint a beágyazások illetve az egységek sorrendjétől (a külső abszolútértéknek köszönhetően).^[4]

A regulátor megközelíthető a Minkowski-elmélet felől is.^[5] Ekkor az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$  egységcsoport képe ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r_{1}+2r_{2}}}$ -ben egy rács lesz, amelynek térfogata a regulátorral arányos. Következésképpen minél kisebb a regulátor, annál „több” egység van az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  gyűrűben, azaz annál „sűrűbben” helyezkednek el az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$ -beli egységek képei az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r_{1}+2r_{2}}}$  Minkowski-térben.

Az analitikus osztályszámképlet egy ${\displaystyle K}$  számtest ${\displaystyle \zeta _{K}}$  Dedekind-zetafüggvényének ${\displaystyle s=1}$  helyen vett reziduumát adja meg.

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot R_{K}\cdot h_{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}}$ 

A jobb oldalon szereplő számok a következők:

• ${\displaystyle r_{1}}$  a valós beágyazások száma,
• ${\displaystyle r_{2}}$  a komplex beágyazáspárok száma,
• h_K az osztályszám, azaz az osztálycsoport elemszáma,
• R_K a ${\displaystyle K}$  számtest regulátora,
• w_K a ${\displaystyle K}$ -ban tartalmazott egységgyökök száma,
• D_K a ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$  bővítés diszkriminánsa.

Általánosságban az osztályszám kiszámítása nehéz kérdés; a fenti képlet részben azért jelentős, mert ezen keresztül az osztályszám meghatározása visszavezethető más invariánsok meghatározására. A bal oldalon álló reziduum kiszámításához egy lehetséges út lehet a számtest prímideáljainak leírása, majd a zetafüggvény Euler-szorzatalakon keresztüli felírása.^[6]

A fenti képlet általánosan igaz valamennyi számtestre. Bizonyos speciális számtestek esetén ennél könnyebben kezelhető képletek is léteznek. Például kvadratikus számtestek (azaz a racionális számok másodfokú algebrai bővítései) esetén az osztályszám meghatározható a diszkrimináns és egy Dirichlet-karakter ismeretében; ez az úgynevezett Dirichlet-osztályszámképlet.^[7]

Ennél nagyobb általánosságban is beszélhetünk „analitikus képletekről” az algebrai számelméletben és az aritmetikai geometriában. Ezek közös vonása, hogy a vizsgált objektum valamely aritmetikai invariánsa és egy analitikus függvény ${\displaystyle s=1}$  helyen vett értéke közötti összefüggést adnak meg, néhány további, jellemzően viszonylag egyszerű tényező erejéig. A fenti esetben a vizsgált objektum a ${\displaystyle K}$  számtest, az aritmetikai invariáns az osztályszám és a regulátor szorzata, az említett analitikus függvény ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ , a további tényezők pedig ${\displaystyle w_{K}}$ , ${\displaystyle D_{K}}$  és ${\displaystyle 2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}}$ . Egy aritmetikai geometriai példa a Birch és Swinnerton-Dyer-sejtés. Abban a speciális esetben, amikor a Mordell–Weil-csoport véges, az aritmetikai invariáns a Tate–Safarevics-csoport rendje, az analitikus függvény pedig a Hasse–Weil-féle L-függvény lesz.^[8]

A kvadratikus reciprocitási tételhez analóg módon vizsgálható, hogy egy egész együtthatós, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  felett irreducibilis polinom mikor bomlik lineáris faktorokra a moduló p, vagyis a ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]}$  polinomgyűrűben. A kvadratikus reciprocitás esetében a vizsgált polinom ${\displaystyle X^{2}-q}$ . Egy további példa a körosztási reciprocitási tétel:

A ${\displaystyle \Phi _{n}(X)}$  körosztási polinom akkor és csak akkor bomlik lineáris faktorokra moduló p, ha ${\displaystyle n\equiv 1{\bmod {p}}}$ .

Az általános kérdést Abel-polinomok (olyan polinomok, amiknek Galois-csoportja Abel) esetében az osztálytestelmélet vizsgálja; a vonatkozó tétel Artin-reciprocitás néven ismert.^[9]

A Kronecker–Weber-tétel szerint minden Abel-számtest beágyazható egy körosztási testbe. Pontosabban ha ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$  egy véges Galois-bővítés, amelynek Galois-csoportja egy Abel-csoport, akkor létezik egy olyan ${\displaystyle m\geq 1}$  egész, melyre ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {Q} (\mu _{m})}$ . Itt ${\displaystyle \mu _{m}}$  az ${\displaystyle m}$ -edik egységgyökök csoportját jelöli, ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu _{m})}$  az ${\displaystyle m}$ -edik körosztási test.^[10]

A tétel arra mutat rá, hogy a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  feletti Abel-bővítések elméletében a körosztási testek játsszák az alapvető építőkövek szerepét. Ez azért hasznos, mert így a körosztási testek viszonylag részletesen ismert tulajdonságaiból lehet következtetni más Abel-bővítések tulajdonságaira.

A tételnek létezik egy lokális verziója is – sőt, a tétel egyik lehetséges bizonyításában először ezt a lokális verziót igazolják elágazáselméleti eszközökkel, majd a globális Kronecker–Weber-tétel bizonyítását visszavezetik a lokális esetre.^[10] A lokális Kronecker–Weber-tétel állítása a következő: ha ${\displaystyle K}$  a p-adikus számok ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$  testének egy véges Galois-bővítése, amelynek Galois-csoportja egy Abel-csoport, akkor létezik egy olyan ${\displaystyle m\geq 1}$  egész, melyre ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {Q} _{p}(\mu _{m})}$ .^[11]

A tétel az osztálytest-elméleten keresztül is bizonyítható.^[12]

• ↑ Mazur 2020: Barry Mazur: About Main Conjectures. (angolul) 2020. arch Hozzáférés: 2021. március 31.  
• ↑ Neukirch 1992: Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. (németül) Berlin: Springer-Verlag. 1992. ISBN 3-540-54273-6  
• ↑ Tian: Yichao Tian: Lectures on Algebraic Number Theory. (angolul)  
• ↑ Washington 1997: Lawrence C. Washington: Introduction to Cyclotomic Fields. (angolul) Second Edition. New York: Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-1-4612-7346-2  
• ↑ Wyman 1972: B. F. Wyman: What is a Reciprocity Law? (angolul) The American Mathematical Monthly, LXXIX. évf. 6. sz. (1972) 571–586. o. doi
• ↑ Zábrádi 2020: Zábrádi Gergely: Algebrai számelmélet jegyzet. (magyarul) 2020.  

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Algebraische Zahlentheorie című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben az Algebraic number theory című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Dedekind zeta function című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.