Zorn-lemma

A Zorn-lemma, vagy más néven Kuratowski–Zorn-lemma, a halmazelmélet egyik (rendezett halmaz tekintetében fennálló) maximális elem létezését állító tétele. Eszerint:

Ha egy nemüres részbenrendezett halmazban [rendezett halmazban] minden lánc felülről korlátos, akkor az adott részbenrendezett halmazban [rendezett halmazban] van maximális elem.

A lemma állítása nem tűnik „nyilvánvaló” állításnak, ellentétben a kiválasztási axióma által megfogalmazott állítással, amivel azonban ekvivalens.

A lemmában szereplő fogalmakon a következőket kell érteni:

• részben rendezés egy H halmaz feletti ≤ (homogén, kétváltozós) reláció, ha reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus.

A továbbiakban H egy részbenrendezett halmaz, melyen ≤ részbenrendezés:

• az L ⊆ H részhalmaz lánc, ha bármely két eleme összehasonlítható egymással: x ≤ y vagy y ≤ x minden x,y ∈ L-re (azaz L-en a rendezés teljes rendezés, más néven láncszerű, avagy lineáris)
• L ⊆ H felülről korlátos, ha van olyan H-beli h elem, hogy minden x ∈ L-re x ≤ h; a H halmazt induktívnak nevezzük, ha benne minden lánc felülről korlátos.
• H-ban m maximális, ha minden vele összehasonlíthatónál nagyobb vagy egyenlő, azaz minden x ∈ H-ra x ≤ m vagy m ≤ x esetén x ≤ m.

A maximális elem létezése természetesen nem azt jelenti, hogy van legnagyobb eleme a részbenrendezett halmaznak, hanem csak azt, hogy vannak olyan elemei – esetleg több is – amelyeknél már nincs nagyobb elem. Az, hogy lehet több ilyen elem is, abból következik hogy részbenrendezett halmazban még lehetnek olyan elemek, amelyek nem összehasonlíthatóak az adott relációban.

A Zorn-lemmát az induktív rendezés fogalma segítségével még a következő formában is kimondhatjuk.

Nemüres, induktívan rendezett halmazban van maximális elem.

Legyen ( P , ≤ ) nemüres részbenrendezett halmaz. Ha ( P , ≤ ) minden ( L , ≤ ) rendezett részhalmazának van felső korlátja (P-ben), akkor ( P , ≤ )-nek van maximális eleme.

Legyen ( H , ≤ ) egy nemüres részbenrendezett halmaz. Tetszőleges eleméből kiindulva föl fogunk építeni egy láncot, egyre nagyobb elemeket hozzávéve. Ennek a láncnak a felső korlátja maximális elem lesz H-ban. A lényeg a technikai részletekben rejlik: újabb és újabb elemek hozzávételéhez Kiválasztási axiómára van szükség, vagy az ezzel ekvivalens jólrendezési tételre.

A jólrendezési tétel szerint minden halmaz jólrendezhető. Vegyünk H-nak egy ${\displaystyle (H,\preceq )}$ jólrendezését. A jólrendezés legkisebb elemétől kezdve építjük föl az L láncot transzfinit rekurzióval: egy elemet akkor veszünk hozzá a lánchoz, ha részbenrendezés szerint nagyobb minden nála jólrendezés szerint kisebb láncelemnél, tehát az addig beválogatottaknál:

${\displaystyle a\in L\quad \Longleftrightarrow \quad \left(\forall b\right)\ {\Big (}b\prec a\,\wedge \,b\in L\ \Rightarrow \ b<a{\Big )}}$

Ez a rekurzió egyértelműen definiálja L-et, és L valóban lánc: két eleme közül az a nagyobb, amelyiket később vettük hozzá. A feltevés szerint minden láncnak van felső korlátja, jelölje m egy felső korlátját L-nek. Belátjuk, hogy m maximális eleme ( H , ≤ )-nak. Tegyük fel indirekt, hogy van m-nél nagyobb elem a halmazban. Ez az elem L minden eleménél nagyobb, így a rekurzió során hozzávettük L-hez. Ez viszont ellentmond azzal, hogy m felső korlátja L-nek. Tehát m maximális elem.

Elegendő belátni, hogy ha egy H halmaz bizonyos részhalmazainak ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$ halmaza azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy

• ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$-beli elem részhalmaza is ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$-beli (X ∈ ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {P}}}$(X) ⊆ ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$),
• ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$-beli elemek uniója is ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$-beli ( ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {K}}}$ ⊆ ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ U${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {K}}}$ ∈ ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$, mely így a ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {K}}}$-nak felső korlátja (${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$,⊆)-ban)

akkor (${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$,⊆)-ban van maximális elem.

Áttérhetünk ugyanis a ( P , ≤ ) rendezett halmazról egy jobban kezelhetőre, a következőre. Legyen

${\displaystyle F:P\rightarrow {\mathcal {P}}(P);\;x\mapsto \{y\in P\mid y\leq x\}}$

vagyis az a függvény, mely egy x ∈ P-hez az x-ből és megelőzőiből álló halmazt rendeli. Ekkor az F értékkészletére, az ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {S}}}$ ⊆ P(P) halmazra gondolhatunk úgy, mint az (${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {S}}}$,⊆) parciálisan rendezett halmaz alaphalmazára. Ekkor f rendezésizomorfizmus (P,≤)-ből (${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {S}}}$,⊆)-be. ( F(x) lényegében az x elem által meghatározott kezdőszelet lezártja: [←,x] .) A P halmaz összes láncainak ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$ halmaza ugyanis a fenti tulajdonsággal rendelkezik. Továbbá a feltétel miatt igaz, hogy ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$ tetszőleges eleme (azaz egy P-beli lánc) felülről korlátos ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {S}}}$-ben, tehát van x ∈ P amire részhalmaza F(x)=[←,x]-nek. Ez azt jelenti, hogy ha találunk M maximális elemet ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathcal {H}}}$-ban, akkor annak [←,x] felső korlátja olyan, hogy x ∈ M, ellenkező esetben lenne M-nek valódi, x-szel történő kibővítése, mellyel még mindig lánc lenne, ami ellentmond a maximális tulajdonságának.

A bizonyítás tehát egy konkrét halmazelméleti feladattá redukálódott…

Következmény (Hausdorff-féle láncaxióma) – Ha ( P , ≤ ) részbenrendezett halmaz és L ⊆ P lánc P-ben, akkor van M ⊆ P maximális részlánc P-ben, mely tartalmazza L-t. Ebben minden lánc felülről korlátos (felső korlátja P), így van maximális eleme.

Ugyanis legyen ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathfrak {L}}}$ a P összes olyan láncainak halmaza, melyek tartalmazzák L-et. Tekintsük az (${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathfrak {L}}}$,⊆) részbenrendezett halmazt. Ha ${\displaystyle {\mbox{ }}_{{\mathfrak {L}}_{1}}}$ ⊆ ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathfrak {L}}}$ lánc (${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathfrak {L}}}$,⊆)-ben, akkor U${\displaystyle {\mbox{ }}_{{\mathfrak {L}}_{1}}}$ lánc ( P , ≤ )-ben, tehát eleme ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathfrak {L}}}$-nek és egyeben felső korlátja is ${\displaystyle {\mbox{ }}_{{\mathfrak {L}}_{1}}}$-nek. (${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathfrak {L}}}$,⊆)-re tehát alkalmazhatjuk a Zorn-lemma állítását, azaz létezik M ∈ ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathfrak {L}}}$ maximális elem, mely tartalmazza L-et. (Ha ez nem lenne maximális P-ben is, akkor lenne L-et tartalmazó bővebb P-beli lánc, ami ellentmond M ${\displaystyle {\mbox{ }}_{\mathfrak {L}}}$-beli maximális voltának.)

Következmény – Ha ( P , ≤ ) nemüres részbenrendezett halmaz, melynek minden részlánca korlátos, akkor minden a ∈ P elemhez létezik olyan m_a maximális elem P-ben, hogy a ≤ m_a.

Az előző tételt alkalmazhatjuk. Van tehát {a}-t részként tartalmazó maximális M lánc, amely a feltétel szerint felülről korlátos és a Zorn-lemma alapján van maximális eleme. Ez P-ben is maximális, mert ellenkező esetben valódi módon kibővíthető volna M ami ellentmond M maximális részlánc tulajdonságának.

Következmény – Ha a ( P , ≤ ) nemüres részbenrendezett halmaz minden jólrendezett részhalmaza korlátos, akkor van P-ben minimális elem.

Valójában ezek ekvivalensek is a lemmával, csak bizonyításuk egyszerűsége folytán sorolhatók a korolláriumok közé.

A Zorn-lemma ekvivalens a kiválasztási axiómával, s így minden a kiválasztási axiómával ekvivalens kijelentéssel is. Ezek (a teljesség igénye nélkül) a következők:

• Teichmüller–Tukey-lemma
• Hausdorff–Birkhoff-tétel
• jólrendezési tétel
• Tyihonov-tétel, mely kimondja, hogy tetszőleges számú kompakt topologikus tér szorzata is kompakt.
• Minden vektortérnek van bázisa.
• Krull-tétel

Számos, főleg algebrai alkalmazásban helyettesíti a transzfinit rekurzió használatát.

Közismert matematikus vicc a Zorn-lemmával ekvivalens állítások intuitív benyomásáról: a kiválasztási axióma nyilvánvalóan igaz, a jólrendezési tétel nyilvánvalóan hamis, a Zorn-lemmát meg tudja a Jóisten.

Ahogy az a matematikában oly gyakran megesik, ezt a tételt sem első felfedezőjéről nevezték el. Zorn 1935-ös publikációja előtt már publikálta a tételt Kuratowski (1922), Felix Hausdorff (1927), majd sokan mások.

• Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954.
• Maurer Gyula, Virág Imre: Bevezetés a struktúrák elméletébe, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, 1976.
• Paul Halmos, Elemi halmazelmélet, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.
• Kristóf János, Az analízis elemei I., ELTE jegyzet, Budapest, 1994.
• Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I-II. Typotex Kiadó, 2003. ISBN 963-9548-21-9, ISBN 963-9548-22-7