T-ravnalo (fraktal)

T-ravnalo je fraktal fraktalne dimenzije 2, a topološke 1. Ime je dobio po crtaćem priboru.

Počnimo od kvadrata (zvat ćemo ga graničnim kvadratom), bijele boje na slici ispod, i od njega oduzmimo kvadrat upola kraće stranice smješten u sredinu graničnog kvadrata, crne boje (prva iteracija). Granični kvadrat podijelimo na četiri jednaka kvadrata i ponovimo postupak (druga iteracija). Svaki od ta četiri kvadrata podijelimo na još četiri itd. T-ravnalom zovemo granicu crne i bijele površine.

T-ravnalo je beskonačno duga krivulja, ali ona okružuje konačnu površinu. Duljina krivulje nakon prve iteracije jest 4, ako uzmemo da granični kvadrat (vidi iznad) ima dimenzije 2 × 2, a površina 1. Nakon prve iteracije od prvog kvadrata ostaju 4 dužine duljine po ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ te se dodaju još 4 kvadrata s dvije stranice duljine ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ i dvije duljine ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$, pa je to ${\displaystyle 2+6=8}$. Površina se poveća za ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$ (četiri dodatna kvadrata površine ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$, ali bez svoje jedne četvrtine). Nakon druge iteracije, duljina krivulje jest 2 od prvog kvadrata, 3 od kvadratâ iz prve iteracije (od svakog od četiri kvadrata ostaje ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$) te 9 od novih kvadrata (duljina granice svakog od 12 kvadrata jest ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$), dakle ${\displaystyle 2+3+9=14}$. Površina se povećava za ${\displaystyle {\frac {9}{16}}}$ (svaki od 12 kvadrata ima površinu ${\displaystyle {\frac {3}{64}}}$). Prema tome, nakon beskonačnog broja iteracija, duljina krivulje je beskonačna, a površina, prema formuli za sumu geometrijskog reda, četiri puta veća od prvog kvadrata, odnosno jednaka površini graničnog kvadrata:

${\displaystyle 1+{\frac {3}{4}}+{\frac {9}{16}}+\cdots ={\frac {1}{1-{\frac {3}{4}}}}=4}$.

• Fraktali
• Beskonačno guste krivulje