Linearni operator

Linearni operator središnji je pojam u linearnoj algebri. To je preslikavanje između dva vektorska prostora nad istim poljem pri kojem je slika zbroja vektora jednaka zbroju njihovih slika, a slika skaliranog vektora jednaka slici vektora skaliranoj za isti iznos. Formalno, ako su ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle W}$ vektorski prostori nad poljem ${\displaystyle \mathbb {F} }$, preslikavanje ${\displaystyle O:V\rightarrow W}$ zvat će se linearnim operatorom ako ima svojstvo aditivnosti, $${\displaystyle O(v_{1}+v_{2})=O(v_{1})+O(v_{2})}$$ i svojstvo homogenosti, $${\displaystyle O(\alpha \,v)=\alpha \,O(v)}$$ za sve vektore ${\displaystyle v}$ iz ${\displaystyle V}$ i sve ${\displaystyle \alpha }$ iz ${\displaystyle \mathbb {F} }$.

Linearnost je objedinjeni naziv za aditivnost i homogenost.

Linearni operator ishodište (nulvektor) jednog vektorskog prostora uvijek preslikava u ishodište drugog prostora.

Rotacija ravnine za kut ${\displaystyle \phi }$ je linearan operator, isto kao i projekcija vektora ravnine na prvu koordinatnu os. Manje geometrijski primjeri su operator deriviranja definiran na prostoru svih polinoma n-tog stupnja, kao i operator integriranja nad istim prostorom. Ako je kompozicija dvaju linearnih operatora definirana, ona je također linearan operator.^[1]