Cur-ris

’S e cur-ris an t-obrachadh matamataigeach a chuireas dà àireimh ri chèile gus an t-suim a dhèanamh. ’S e sin an àireamh a tha co-ionnan ris an uimhir gu lèir nuair a chuireas dà uimhir ri chèile.

Tha an t-obrachadh air a sgrìobhadh leis a’ chomharra “+” eadar an dà àireimh a thathar a’ cur-ris, mar eisimpleir:

3 + 4.

Faodar seo a leughadh an iomadh dòigh: “cuir-ris trì agus ceithir” no “trì, cuir-ris ceithir” no “cuir ceithir ri trì”. Mar cho-aontar, faodar a leughadh cuideachd gu bheil “a trì ’s a cheithir a’ dèanamh a seachd”:

3 + 4 = 7.

’S e obrachadh àireamhachd as bunaitich a th’ ann an cur-ris. Tha e a’ leantainn fearta ’s bunaitich aig na h-àireamhan nàdarra. ’S e sin gu bheil gach àireamh na h-aon a bharrachd air an tè a th’ ann roimhpe. Mar eisimpleir, nan sgrìobhte “+ 1” an àite “h-aon a bharrachd air”:

9 = 8 + 1 = (7 + 1) + 1 = (6 + 1) + 1 + 1 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1.

Le bhith a’ dol air ais:

(1 + 1) + 1 + 1 = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.

Agus nan cuirte 4 an àite “1 + 1 + 1 + 1” sa cho-aontar os cionn, bheireadh seo dhuinn:

9 = 5 + 4.

’S e a’ chiall seo gu bheil a naoi na ceithir uiread de “h-aon a bharrachd” air a chòig. Canaidh sinn gu bheil i na ceithir a bharrachd air a chòig.

Tha e a’ leantainn seo gun cuirear dà àireimh nàdarra ri chèile mar seo,

a + b = c

chionns gum bi àireamh nàdarra ann, can c, a tha b a bharrachd air a (.i. a tha b uiread de h-aon a bharrachd air a). Canaidh sinn cur-ris ris an obrachadh a chuireas dà àireimh ri chèile san dòigh seo.

’S ann bho na bun-bheachdan sìmplidh os cionn cuideachd a thig am feart cudromach ris an canar co-iomlaideachd. Ma tha àireamh nàdarra air a togail le ath chur-ris na h-àireimh a h-aon, tha e soilleir gu bheil:

Agus san choitcheannas, ma tha a agus b nan àireamhan nàdarra, gu bheil:

a + b = b + a.

’S ann ri seo a thathar ag ràdh Lagh Co-iomlaideach Chur-ris, ged tha an “lagh” na thoradh feart cur-ris. Tha obrachaidhean eile ann am matamataig aig nach eil am feart seo agus nach eil a’ cumail ri lagh co-iomlaideach.

’S e obrachadh càraideach a th’ ann an cur-ris. ’S e sin obrachadh dà àireimh, agus dà àireimh a-mhàin. Gus a suas air dà àireimh a chur-ris, bhiodh an treas àireamh air a cur ri suim na dà roimhpe agus gach àireamh eile air a cur ris an t-suim-ruithe:

(3 + 8) + 2 + 13 + 7 + ...

= (11 + 2) + 13 + 7 + ...

= (13 + 13) + 7 + ...

= (26 + 7) + ...

Ach ma thathar a’ cur-ris sreath àireamhan, chan eil e gu diofar ciamar a thathar gan toirt còmhla nam paidhrichean. Seo feart co-thiomsach chur-ris. Sa riochd as sìmplidh:

( a + b ) + c = a + ( b + c )

Mar eisimpleir, ( 3 + 8 ) + 2 = 11 + 2 = 13 = 3 + 10 = 3 + ( 8 + 2 ). Uaireannan thathar ag ràdh Lagh Co-thiomsach Chur-ris no Lagh nan Ceanglaichean Chur-ris ri seo ach, mar a tha an “lagh” co-iomlaideach os cionn, ’s e feart cur-ris a th’ ann.

’S e neoni an àireamh nach atharraich an dara àireamh ma tha e air a chur rithe. ’S e sin, ma tha

a + x = a

’s e neoni a th’ ann an x:

x = 0.

Tha e soilleir gu bheil:

0 + a = a + 0 = a

0 + 0 = 0

Nise, chionns gu bheil:

0 + 1 = 1

...tha e soilleir gu bheil neoni na àireamh air beulaibh na h-aon anns an òrdugh àireamh – ’s e a h-aon a tha “aon a bharrachd” air neoni. Tha àireamhan eile ann a tha ro neoni anns an òrdugh seo. Is iadsan na h-àireamhan àicheil – na h-àireamhan nas lugha na neoni – agus ’s urrainnear an cur-ris anns an aon dòigh:

Mar eisimpleir, ’s e a h-aon a tha ceithir a bharrachd air -3.

-3 + 4 = 1

Chionns gu bheil cur-ris co-iomlaideach, gabhar a sgrìobhadh cuideachd:

4 + -3 = 1

...ach dè tha sin a’ ciallachadh? Gus a h-aon ruigsinn bho cheithir, feumar trì ceuman air ais a ghabhail.

’S e toirt air falbh a tha seo:

4 – 3 = 1

’S e toirt air falbh na h-aon rud ri cur-ris àireimh àicheil, ach thoir an aire nach eil toirt air falbh co-iomlaideach mar a tha cur-ris.

3 – 4 ≠ 4 – 3.

Chan urrainnear dà rud a chur-ris ma tha iad eadar-dhealaichte. Nan cuireadh ceithir ùbhlan agus dà orainsear ri trì ùbhlan agus orainsear, bhiodh seachd ùbhlan agus trì orainsearan ann. ’S urrainnear na h-ùbhlan agus na h-orainsearan a chur-ris fa leth ach chan urrainnear an cur-ris mar-aon. Ach ’s urrainnear mur eil sin a’ cunntadh ùbhlan is orainsearan ach pìosan measa. ’S ann mar seo cuideachd le bloighean:

${\displaystyle \left({\frac {4}{5}}+{\frac {2}{7}}\right)+\left({\frac {3}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)=\left({\frac {7}{5}}+{\frac {3}{7}}\right)}$

Gus còigeamhan agus seachdamhan a chur-ris feumar an iomlaid gu bhith nam bloighean den aon sheòrsa. Chionns gu bheil:

${\displaystyle {\frac {7}{5}}={\frac {49}{35}}\left(={\frac {7\times 7}{5\times 7}}\right)}$ agus ${\displaystyle {\frac {3}{7}}={\frac {15}{35}}\left(={\frac {3\times 5}{7\times 5}}\right)}$

’S urrainnear an cur-ris mar a leanas:

${\displaystyle {\frac {7}{5}}+{\frac {3}{7}}={\frac {49}{35}}+{\frac {15}{35}}={\frac {64}{35}}}$

Bheir an aon bhun-bheachd comas dhuinn bheactaran a chur-ris. Tha cùrsa agus meud aig bheactar, agus ’s docha nach eil e soilleir ciamar a chuireas dà dhiubh ri chèile ma tha cùrsa eadar-dhealaichte aca. Ach ma tha na bheactaran air an cur an cèill a-rèir nan aon bhonn-bheactaran, ’s urrainnear codaichean de bheactaran an cois nam bonn-bheactaran a chur-ris.

Seo eisimpleir. Biodh ${\displaystyle \mathbf {a} }$ agus ${\displaystyle \mathbf {b} }$ nam bheactaran ri chur-ris, agus biodh na bonn-bheactaran aca na bheactaran aonadach ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ agus ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$, an cois nan axes x agus y. Biodh x_a na chuid-x de bheactar ${\displaystyle \mathbf {a} }$ agus y_a na chuid-y dheth. Faodaidh sinn ${\displaystyle \mathbf {a} }$ a sgrìobhadh an teirmean nam bonn-bheactaran mar a leanas:

${\displaystyle \mathbf {a} =x_{a}{\hat {\mathbf {x} }}+y_{a}{\hat {\mathbf {y} }}}$

Gus an ceartuair, leig an seagh agus leis a’ chomharra “+” an seo, ged a chithear gur h-e cur-ris a th’ ann.

Mar an ceudna:

${\displaystyle \mathbf {b} =x_{b}{\hat {\mathbf {x} }}+y_{b}{\hat {\mathbf {y} }}}$

Faodar a-nis na codaichean-x agus na codaichean-y a chuir-ris, agus nithear ciall de chur-ris bheactaran c = a + b mar a leanas:

${\displaystyle \mathbf {c} =x_{c}{\hat {\mathbf {x} }}+y_{c}{\hat {\mathbf {y} }}}$

Far a bheil:

${\displaystyle x_{c}=x_{a}+x_{b}\,\!}$

${\displaystyle y_{c}=y_{a}+y_{b}\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(x_{a}+x_{b}){\hat {\mathbf {x} }}+(y_{a}+y_{b}){\hat {\mathbf {y} }}}$

Gabhar faicinn gum faighear an aon bhuil ma tha an dà bheactar ${\displaystyle \mathbf {a} }$ agus ${\displaystyle \mathbf {b} }$ air an cur ceann gu ceann. ’S e an t-suim aca am bheactar a tha a’ coileanadh an triantain – am bheactar bho thoiseach ${\displaystyle \mathbf {a} }$ gu deireadh ${\displaystyle \mathbf {b} }$.

Anns an aon dòigh, ma tha na codaichean de ${\displaystyle \mathbf {a} }$, an cois na h-axes x agus y, na bheactaran:

${\displaystyle \mathbf {x} _{a}=x_{a}{\hat {\mathbf {x} }}}$

${\displaystyle \mathbf {y} _{a}=y_{a}{\hat {\mathbf {y} }}}$

...’s e am bheactar ${\displaystyle \mathbf {a} }$ na suim:

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {x} _{a}+\mathbf {y} _{a}=x_{a}{\hat {\mathbf {x} }}+y_{a}{\hat {\mathbf {y} }}}$

Faodar dà mheatraigs a chur-ris le bhith a’ cur-ris na h-eileamaidean co-fhreagarrach fa leth.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}}}$

Mar eisimpleir:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}4&5\\6&3\\1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&7\\9&7\\6&8\end{pmatrix}}}$

Ach cha ghabh meatragsan a chur-ris mur eil an dà dhiubh den aon òrdugh (.i. àireamh cholbhan agus shreathan). Tha cur-ris nam meatragsan co-iomlaideach agus co-thiomsach.

’S e cur-ris sreath (no colbh) àireamhan a th’ ann an suimeadh. Mar eisimpleirean:

${\displaystyle S_{1}=1+3+5+7+9+11\,\!}$

${\displaystyle S_{2}=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{64}}+{\tfrac {1}{625}}+\cdots \,\!}$

Ann am matamataig, tha e gu tric feumail sreath-suimidh a giorrachadh, gu h-àraidh ma tha pàtran aig na teirmean, leis a’ chomharradh Σ (litir mhòr Ghreugais “S” a tha air fuaimneachadh sìghma - σίγμα).

${\displaystyle S_{1}=\sum _{n=1}^{6}(2n-1)}$

${\displaystyle S_{2}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{n-1}}}\right)}$

Anns na h-eisimpleirean os cionn, ’s e caochladair brèige a th’ ann an n. Gabhaidh n gach luach mu seach bhon luach ìochdrach gus am fear uachdrach, agus san dòigh seo tha teirmean an t-suimidh air an togail. Tha na luachan seo, aig ìochdar agus aig uachdar na soidhne-suimidh, nan crìochan an t-suimidh. Mar eisimpleir, bhon chiad eisimpleir, tha an suimeadh bho n = 1 gu n = 6:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}n&2n-1\\1&2\times 1-1&1\\2&2\times 2-1&+3\\3&2\times 3-1&+5\\4&2\times 4-1&+7\\5&2\times 5-1&+9\\6&2\times 6-1&+11\\&\sum _{n=1}^{6}(2n-1)=&36\end{array}}}$

Anns an dara eisimpleir, gabhaidh n gach luach bho h-aon gu neo-chrìochnachd. Tha e soilleir nach gabhar a sgrìobhadh gach teirm ’s an cur-ris, ach tha ro-innleachdan matamataigeach ann suimidhean neo-chrìochnach mar seo a dh’fhuasgladh, co-dhiù seòrsaichean àraidh dhiubh.