Insiemi

In matematiche, un insiemi (insieme par talian e set par inglês) al è une colezion di ogjets che e ven considerade come un dutun. Cheste idee, inte sô semplicitât, e je a la base di ducj i cjamps de matematiche tant che il prin cjapitul di cualsisei bon libri di test al è dedicât al studi des principâls carateristichis e proprietâts dai insiemis.

In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche.

Un insiemi al è une colezion di ogjets, che a vegnin clamâts elements dal insiemi. I elements a definissin totalmentri un insiemi: par esempli, si dîs che l'insiemi ${\displaystyle A}$ e l'insiemi ${\displaystyle B}$ (l'ûs des letaris maiusculis par clamâ i insiemis al è une vore comun) a son compagns se e dome se a son costituîts dai stes elements; in chel câs si pues scrivi ${\displaystyle A=B}$.

Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi ${\displaystyle A}$ e un ogjet ${\displaystyle a}$, si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin:

1. ${\displaystyle a}$ al è un element di ${\displaystyle A}$: a si dîs che ${\displaystyle a}$ al aparten a ${\displaystyle A}$ e si scrîf ${\displaystyle a\in A}$;
2. ${\displaystyle a}$ nol è un element di ${\displaystyle A}$: a si dîs che ${\displaystyle a}$ nol aparten a ${\displaystyle A}$ e si scrîf ${\displaystyle a\notin A}$.

Chest al impliche che:

• no esistin câs intermedis: un element o al aparten o nol aparten a un insiemi;
• un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi.

Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son:

1. par liste, o sei disint un a un ducj i elements:
   ${\displaystyle A=\{0;7;33;10088\}=\{10088;7;0;33\};}$
   ${\displaystyle B=\{{\mbox{garofui; patatis; trisculis; cjariesis}}\};}$
   Lis dôs definizions di ${\displaystyle A}$ a son ecuivalentis: l'ordin dai elements nol conte;
2. par carateristiche, o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:
   ${\displaystyle C=\{{\mbox{i numars pari}}\};}$
   ${\displaystyle D=\{{\mbox{lis machinis cuntune ruede sbuse}}\}.}$
   In câs plui complicâts, lis descrizions a puedin jessi dal tipo
   ${\displaystyle C=\{\forall n\in \mathbb {N} :n=2m,\forall m\in \mathbb {N} \}}$
   ${\displaystyle E=\{\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=3x+5\}.}$
   Ancje chi, ${\displaystyle C}$ al è il stes insiemi intai doi câs (il significât dai simbui ${\displaystyle \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle \mathbb {R} }$ al sarà spiegât plui indevant).

Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis finîts, che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements; ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle E}$ a son invezit insiemis infinîts e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la cardinalitât).

L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs insiemi vueit e si indiche cun il simbul ${\displaystyle \emptyset }$.

Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche.

• I numars naturâi a son ducj i intîrs no negatîfs:
  ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0;1;2;3;4;...\}.}$
• I numars intîrs relatîfs, vâl a dî cun segn, si indichin cun ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
  ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ al è l'insiemi dai numars razionâi, ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:
  ${\displaystyle \mathbb {Q} =\{\forall q:q={\frac {m}{n}},\forall m,n\in \mathbb {Z} {\mbox{ e }}n\neq 0\}}$.
• L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai numars reâi ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• I numars complès ${\displaystyle \mathbb {C} }$ a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ la unitât imagjinarie, si à
  ${\displaystyle \mathbb {C} =\{\forall z:z=x+iy,\forall x,y\in \mathbb {R} \}}$.

Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son coincidents. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin disiunts.

L'insiemi ${\displaystyle B}$ al è un sotinsiemi dal insiemi ${\displaystyle A}$ se e dome se ducj i elements di ${\displaystyle B}$ a son ancje elements di ${\displaystyle A}$. La scriture doprade e je

${\displaystyle B\subseteq A{\mbox{ o ancje }}A\supseteq B}$.

Se si è sigûrs che ${\displaystyle A}$ al vedi ancje elements che no apartegnin a ${\displaystyle B}$, si tabaie alore di sotinsiemi tal sens stret o sotinsiemi propri e si scrîf:

${\displaystyle B\subset A{\mbox{ o ancje }}A\supset B}$.

Si à di notâ che cualsisei insiemi al à almancul doi sotinsiemis impropris (no tal sens stret): l'insiemi vueit ${\displaystyle \emptyset }$ e l'insiemi stes.

Par i insiemis numerics fondamentâi viodûts inte sezion anteriôr, a valin lis relazions che a seguissin:

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$.

(Nol è un erôr scrivi ${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$.)

• Proprietât riflessive: par un cualsisei insiemi A e vâl la relazion

${\displaystyle A\subseteq A}$.

• Proprietât antisimetriche: se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ a son doi insiemis tai che

${\displaystyle A\subseteq B}$ e ${\displaystyle B\subseteq A}$ alore ${\displaystyle A=B}$.

• Proprietât transitive: A sedin ${\displaystyle A,B}$ e ${\displaystyle C}$ trê insiemis. Se si à

${\displaystyle (A\subseteq B)e(B\subseteq C)}$ alore ${\displaystyle A\subseteq C}$.

Cheste proprietât e vâl ancje cu la forme strete de inclusion o une misture des dôs.

L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi ${\displaystyle A}$ si clame insiemi des parts (power set in inglês) di ${\displaystyle A}$. Par esempli, se ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$, l'insiemi des parts ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ al è

${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\emptyset ;A;\{1\};\{2\};\{3\};\{1;2\};\{1;3\};\{2;3\}\}}$.

Par un insiemi finît di ${\displaystyle n}$ elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je ${\displaystyle 2^{n}}$ (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element).

• Union: la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se definin
  ${\displaystyle A=\{1;4;8;11\}{\mbox{ e }}B=\{3;5;4;7;1\}}$
  alore la union e je
  ${\displaystyle A\cup B=\{1;4;8;11;3;5;7\}}$.
  Si pues notâ che ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ a son sotinsiemis dal insiemi union ${\displaystyle A\cup B}$ e che i elements comuns ai doi insiemis (${\displaystyle \{1;4\}}$) no vegnin ripetûts.

• Intersezion: la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ come prime, si à
  ${\displaystyle A\cap B=\{1;4\}}$.
  De definizion, al risulte clâr che l'insiemi intersezion al è un sotinsiemi di ducj i doi i insiemis di partence.
  O vin viodût prime che doi insiemis si disin disgiunts cuant che no àn elements in comun. Si pues cumò dâ une definizion ecuivalent e disi che doi insiemis a son disgiunts se la lôr intersezion e da un insiemi vueit.

• Insiemi diference: l'insiemi diference di ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle B}$ (${\displaystyle B\setminus A}$ o ${\displaystyle B-A}$) al è l'insiemi dai elements di ${\displaystyle B}$ che no apartegnin a ${\displaystyle A}$. Continuant cul esempli:
  ${\displaystyle B\setminus A=\{3;5;7\}{\mbox{ e }}A\setminus B=\{8;11\}}$.

• Complementâr: In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât insiemi univiers; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi ${\displaystyle A}$ al è l'insiemi diference di ${\displaystyle A}$ intal insiemi univiers. Se o clamìn ${\displaystyle U}$ l'insiemi univiers e ${\displaystyle {\bar {A}}}$ (o ancje ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}(A)}$ o ${\displaystyle A'}$) il complementâr di ${\displaystyle A}$, si à
  ${\displaystyle {\bar {A}}=U\setminus A}$.

• Prodot Cartesian: I elements dal prodot cartesian ${\displaystyle A\times B}$ di doi insiemis ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ a son dutis lis pussibilis copis ordenadis che si puedin costruî sielzint il prin element intal insiemi ${\displaystyle A}$ e il secont element intal insiemi ${\displaystyle B}$. In simbui:
  ${\displaystyle A\times B=\{(a,b)|a\in A{\text{ e }}b\in B\}.}$
  Al e facil viodi che la cardinalitât dal prodot cartesian ${\displaystyle A\times B}$ e je il prodot des cardinalitâts di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ (cuant che ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ a an un numar finît di elements). Cun di plui, jessint che i elements di ${\displaystyle A\times B}$ a son copis ordenadis, il prodot cartesian nol è comutatîf, vâl a dî ${\displaystyle A\times B\neq B\times A}$.

Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis. Intai esemplis che a seguissin, i insiemis ${\displaystyle A,B}$ e ${\displaystyle C}$ a son sotinsiemis dal insiemi univiers ${\displaystyle U}$.

• Proprietât comutative: union e intersezion a gjoldin de proprietât comutative
  ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$;
  ${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$.
• Proprietât associative: union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemis
  ${\displaystyle A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$;
  ${\displaystyle A\cap B\cap C=(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$.
• Proprietât distributive: de intersezion rispiet ae union
  ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$
  e de union rispiet ae intersezion
  ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$.
• Formulis di De Morgan:
  ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\bar {A}}\cup {\bar {B}}}$;
  ${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\bar {A}}\cap {\bar {B}}}$.

A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr:

• ${\displaystyle A\cup A=A{\mbox{ e }}A\cap A=A}$;
• ${\displaystyle A\cup \emptyset =A{\mbox{ e }}A\cap \emptyset =\emptyset }$;
• ${\displaystyle {\overline {\bar {A}}}=A}$;
• ${\displaystyle A\cap {\bar {A}}=\emptyset {\mbox{ e }}A\cup {\bar {A}}=U}$;
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset }$;
• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap {\bar {B}}}$.

• G. Spirito. Matematica Senza Numeri. Newton Compton, 1995. ISBN 88-7983-814-8
• A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. La Nomencladure des Matematichis. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997.
• M. Fogale e E. Paolini. Une Introduzion ae Analisi Matematiche. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 2001.
• Wikipedia Contributors. Set, in Wikipedia, the Free Enciclopedia, 30 July 2007, 00:14 UTC, <http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Set&oldid=147952691> [accessed 9 August 2007]
• Contributori di Wikipedia. Insieme, in Wikipedia, l'Enciclopedia Libera, 8 giugno 2007, 19:50 UTC, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Insieme&oldid=9201617> [in data 9 agosto 2007]