Derivade

La derivade e je insieme cul integrâl une da lis dôs operazions centrâls dal calcul (cjale ancje il teoreme fondamentâl dal calcul).

In matematiche, la derivade ${\displaystyle f'}$, la si definìs par mieç dal limit:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

I simbui doprâts pe matematiche a son diviers, e spes l'ûs al dipint dome dal gust personâl; oltri a ${\displaystyle f'}$ si cjatin ancje:

${\displaystyle {\frac {df}{dx}};~{\frac {d}{dx}}f;~D_{x}f;~{\dot {f}}}$

Intuitivementri la derivade e esprim:

• la velocitât dal cambiament de funzion. Pensant ae definizion ca parsore, si viôt come la variazion "h" de funzion

(f(x+h)-f(x)) intun interval di timp e ven confrontade cul valôr "h" dal timp che al è passât tra x e x+h.

Un esempli inte cinematiche e je la espression de posizion di un pont esprimude in funzion dal timp, che par solit si scrîf come x(t). Se cumò o vuelin savê la velocitât di moviment dal pont, o vin di derivâ la funzion de posizion rispiet al timp. Difat, la velocitât e si gjave fûr dividint il spazi par il timp, par cui cjapant la distance percorude (es. x(t+h)-x(t)) e dividintle pal timp passât "h" nus ven fûr la velocitât medie tal interval (t,t+h): se cumò o fasin tindi a zero il timp, ven a stâi cjapin intervai simpri plui piçui di timp, o cjatarin la velocitât istantanee; chest procès al è propi compagn de definizion di derivade.

• la tangjent dal pont di viste gjepmetric: la derivade di une funzion intun pont A e misure la pendence de rete tangjent al grafic de funzion in chel pont

Une funzion e je diferenziabil intun pont x se e esist la sô derivade in x; par chest une funzion che no je continue in x no sarà diferenziabil, parcè che in chel pont no esistarà la tangjent. Di chê altre bande, nol è sigûr che une funzion continue sedi diferenziabil

La derivade n-esime f⁽ⁿ⁾ di une funzion f e je la funzion che o cjatin derivant par n voltis la funzion f. O fevelin duncje di derivade seconde, derivade tierce e cussì indevant; tal scrivi si doprin in gjenar chescj simbui:

${\displaystyle f''=f^{(2)}={\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}}$ ,

${\displaystyle f'''=f^{(3)}={\frac {\mathrm {d} ^{3}f}{\mathrm {d} x^{3}}}}$ ,

...

${\displaystyle f^{(n)}={\frac {\mathrm {d} ^{n}f}{\mathrm {d} x^{n}}}}$ .

Une funzion derivabil no je però par fuarce derivabil n voltis: par esempli, la funzion ca sot e à une derivade prime, ma no à une derivade seconde.

${\displaystyle f(x)=x|x|}$

Difat, la derivade di f e je f' (x) = 2 |x|, che no je a sô volte derivabil.

Calcolâsi ogni volte il limit de funzion al puarte vie un grum di timp; par chest in gjenar si doprin lis derivadis fondamentâls: derivadis di funzions semplicis e di ûs frecuent di meti insieme par mieç di regulis di derivazion.

• Some: ${\displaystyle {\left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'}}$
• Prodot (regule di Leibniz): ${\displaystyle {\left({f(x)g(x)}\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}}$
• Cuozient:
  ${\displaystyle {D\left({f(x) \over g(x)}\right)={{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)} \over {g(x)^{\rm {2}}}}}}$
• Funzion componude: ${\displaystyle {D\left({f\left({g\left(x\right)}\right)}\right)=f'\left({g\left(x\right)}\right)g'\left(x\right)}}$
• Funzion disledrosade:
  ${\displaystyle {D\left({f^{-{\rm {1}}}\left(y\right)}\right)={{\rm {1}} \over {f'\left(x\right)}}={{\rm {1}} \over {f'\left({f^{-{\rm {1}}}\left(y\right)}\right)}}}}$

• ${\displaystyle {D\left({\textrm {costante}}\right)=0}}$
• ${\displaystyle {D\left({ax}\right)=a}}$
• ${\displaystyle {D\left({x^{n}}\right)=nx^{n-{\rm {1}}}}}$
• ${\displaystyle {D\left({x^{2}}\right)=2x}}$
• ${\displaystyle D\left(e^{x}\right)=e^{x}}$
• ${\displaystyle D\left(a^{x}\right)=a^{x}\ln a}$
• ${\displaystyle D\left(\ln x\right)={\frac {1}{x}}}$
• ${\displaystyle D\left(\sin x\right)=\cos x}$
• ${\displaystyle D\left(\cos x\right)=-\sin x}$
• ${\displaystyle D\left(\tan x\right)=D\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)=1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}$
• ${\displaystyle D\left({\rm {cotan\,}}x\right)=D\left({\frac {\cos x}{\sin x}}\right)={\frac {1}{\sin ^{2}x}}}$
• ${\displaystyle D\left(\arcsin x\right)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle D\left(\arccos x\right)={\frac {1}{-{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$
• ${\displaystyle D\left(\arctan x\right)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$
• ${\displaystyle D\left(\sinh x\right)=\cosh x}$
• ${\displaystyle D\left(\cosh x\right)=\sinh x}$
• ${\displaystyle D\left(\tanh x\right)={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}}$

• ${\displaystyle {D\left({\left[{f\left({g\left(x\right)}\right)}\right]}\right)={f'[{g\left(x\right)}]{g'\left(x\right)}}}}$
• ${\displaystyle {D\left({\left[{f\left(x\right)}\right]^{n}}\right)=n\left[{f\left(x\right)}\right]^{n-{\rm {1}}}f'\left(x\right)}}$
• ${\displaystyle {D\left({\sqrt {f\left(x\right)}}\right)={{\rm {1}} \over {{\rm {2}}{\sqrt {f\left(x\right)}}}}}f'\left(x\right)}$
• ${\displaystyle {D\left({{\rm {ln}}f\left(x\right)}\right)={{\rm {1}} \over {f\left(x\right)}}f'\left(x\right)={{f'\left(x\right)} \over {f\left(x\right)}}}}$
• ${\displaystyle {D\left({e^{f\left(x\right)}}\right)=e^{f\left(x\right)}f'\left(x\right)}}$
• ${\displaystyle {D\left({{\rm {sin}}f\left(x\right)}\right)=f'\left(x\right){\rm {cos}}f\left(x\right)}}$
• ${\displaystyle {D\left({{\rm {cos}}f\left(x\right)}\right)=-f'\left(x\right){\rm {sin}}f\left(x\right)}}$
• ${\displaystyle {D\left({\arctan f\left(x\right)}\right)={{f'\left(x\right)} \over {{\rm {1}}+\left[{f\left(x\right)}\right]^{\rm {2}}}}}}$
• ${\displaystyle {D\left({f\left(x\right)^{g\left(x\right)}}\right)=f\left(x\right)^{g\left(x\right)}\left\{{g'\left(x\right){\rm {ln}}f\left(x\right)+g\left(x\right){{\rm {1}} \over {f\left(x\right)}}f'\left(x\right)}\right\}}}$

• Integrâl
• Derivade parziâl

• (inglês) Risolvi lis derivadis un pas par volte