Nombre octaédrique

O_n peut être obtenu en ajoutant deux nombres pyramidaux carrés consécutifs : ${\displaystyle O_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}k^{2}+\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(n-1)n(2n-1)}{6}}+{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}$ 

On obtient ici ${\displaystyle O_{n}}$  à partir de la relation : ${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=(S-1)+(A-q)(n-2)+(F-q)(P_{m,n}-m(n-1))}$ ,

où ${\displaystyle S=6,A=12,F=8}$  sont les nombres de sommets, arêtes et faces de l'octaèdre, ${\displaystyle \{m,q\}=\{3,4\}}$  son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} , et ${\displaystyle P_{m,n}}$  le nombre m-gonal d'ordre n ^[2].

On obtient donc ${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=(6-1)+(12-4)(n-2)+(8-4)(n(n+1)/2-3(n-1))=2n^{2}-2n+1}$ .

D'où ${\displaystyle O_{n}=2{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-2{\frac {n(n+1)}{2}}+n={n(2n^{2}+1) \over 3}}$ .

Si l'on retranche à chacun des 6 sommets de la construction précédente à l'étape ${\displaystyle 3n-2}$  une pyramide à base carrée à l'étape ${\displaystyle n-1}$ , on obtient les nombres octaédriques tronqués : ${\displaystyle OT_{n}=O_{3n-2}-6P_{n-1}^{(4)}=16n^{3}-33n^{2}+24n-6}$  : 1, 38, 201, 586, 1289, 2406, 4033, 6266, 9201, 12934,... (suite A005910 de l'OEIS) ^[4].

• Conjectures de Pollock
• Nombre octaédrique centré
• Nombre 4-hyperoctaédrique
• Nombre hyperoctaédrique

• (en) Eric W. Weisstein, « Octahedral number », sur MathWorld

•   Arithmétique et théorie des nombres