Loi d'Erlang

La distribution est continue et possède deux paramètres : le paramètre de forme ${\displaystyle k}$ , un entier, et le paramètre d'intensité ${\displaystyle \lambda }$ , un réel. On utilise parfois une paramétrisation alternative, où on considère plutôt le paramètre d'échelle ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{\lambda }}}$ .

Lorsque le paramètre de forme ${\displaystyle k}$  vaut 1, la distribution se simplifie en la loi exponentielle.

La distribution d'Erlang est un cas spécial de la loi Gamma, où le paramètre de forme ${\displaystyle k}$  est un entier. Dans la loi Gamma, ce paramètre est réel positif supérieur ou égal à 1.

La densité de probabilité de la distribution d'Erlang est

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}\exp(-\lambda x) \over (k-1)!}\quad {\mbox{pour }}x>0.}$ 

Le paramètre ${\displaystyle k}$  est le paramètre de forme, et ${\displaystyle \lambda }$  le paramètre d'intensité. Une paramétrisation équivalente met en jeu le paramètre d'échelle ${\displaystyle \theta }$ , défini comme l'inverse de l'intensité (c'est-à-dire ${\displaystyle \theta =1/\lambda }$ ) :

${\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}\exp(-{\frac {x}{\theta }})}{\theta ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{pour }}x>0.}$ 

La présence de la factorielle implique que k doit être un entier naturel supérieur ou égal à 1. Mais la loi Gamma généralise la distribution d'Erlang où ce paramètre k est un réel quelconque positif supérieur ou égal à 1. L'expression de la fonction de densité de probabilité est obtenue en remplaçant ${\displaystyle (k-1)!}$  par ${\displaystyle \Gamma (k)}$ , qui la valeur prise par la fonction gamma en k.

La fonction de répartition de la distribution d'Erlang est

${\displaystyle F(x;k,\lambda )={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}}$ 

où ${\displaystyle \gamma ()}$  est la fonction gamma incomplète. Cette fonction peut aussi s'écrire :

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {(\lambda x)^{n}}{n!}}}$ 

La distribution d'Erlang est la distribution de la somme de k variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre ${\displaystyle \lambda }$ . Si chacune de ces variables aléatoires ${\displaystyle X_{i}}$  représente le temps au bout duquel un événement donné se produit (par exemple, une intervention à la suite d'une panne sur un appareil sans usure et sans mémoire), alors la variable aléatoire ${\displaystyle T_{k}=X_{1}+\dots +X_{k}}$  au bout duquel le k-ème événement a lieu suit une loi d'Erlang de forme k et de paramètre ${\displaystyle \lambda }$ .

Si l'on se donne un instant t, on montre que la variable aléatoire ${\displaystyle N_{t}}$  égale au nombre d'entiers k tels que ${\displaystyle T_{k}\leq t}$  suit une loi de Poisson de paramètre ${\displaystyle \lambda t}$ ^[1]. Dans l'interprétation ci-dessus, ${\displaystyle N_{t}}$  est le nombre d'interventions effectuées avant l'instant t.

• Processus de Poisson
• Loi binomiale négative : cette loi est l'analogue de la loi d'Erlang dans le cas discret.

• Erlang Distribution
• An Introduction to Erlang B and Erlang C by Ian Angus [PDF]
• Resource Dimensioning Using Erlang-B and Erlang-C
• Erlang-C

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