Logique de base/Algèbre de Boole

Algèbre de Boole

Chapitre no 2
Leçon : Logique de base
Chap. préc. :	Introduction
Chap. suiv. :	Tableau de Karnaugh
Exercices :	Algèbre de Boole

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Logique de base/Algèbre de Boole », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dérivée des mathématiques, l'algèbre de Boole est utilisée par les automaticiens afin de réduire les équations logiques pour éviter de prendre trop de place dans les mémoires d'automates programmables. À l'époque, et pour les automatismes assez importants, la mémoire était un critère important : Il fallait par tous les moyens possibles réduire au minimum cette prise de place.
L'algèbre de Boole est un très bon outil utilisant des règles relativement simples. En algèbre de Boole, les variables (a, b, c ....) ne peuvent prendre que deux valeurs : 0 et 1

Tout d’abord, les symboles utilisés en algèbre de Boole, bien qu'en apparence similaires à ceux des mathématiques, diffèrent dans leurs significations.

Ainsi

• le symbole " + " se lit " ou ". En effet l’expression " a + b = 1 " se lit " a ou b égal à 1 ". Cette condition est vérifiée pour a ou pour b (ou pour les deux en même temps) égale à 1
• le symbole " . " se lit " et ". En effet l’expression " a . b = 1 " se lit " a et b égal à 1 ". Cette condition est vérifiée pour a et b égal à 1. (Si l'un des deux vaut 0, l'équation n’est pas vérifiée)
• la variable " ${\displaystyle {\bar {a}}}$ " se lit " a barre " (ou " non a "). Elle prend la valeur opposé de a. Si a = 1 alors ${\displaystyle {\bar {a}}}$ = 0 et inversement.

• a + 1 = 1 (variable absorbée)
• a + 0 = a (élément neutre)
• a + a = a
• a + ${\displaystyle {\bar {a}}}$ = 1 (voir Propriété de la complémentarité)

• a . 1 = a (élément neutre)
• a . 0 = 0 (variable absorbée)
• a . a = a
• a . ${\displaystyle {\bar {a}}}$ = 0 (voir Propriété de la complémentarité)

• ${\displaystyle {\bar {\bar {a}}}=a}$
• ${\displaystyle {\bar {\bar {\bar {a}}}}={\bar {a}}}$

• a . a = a
• a + a = a

• a + b = b + a
• a . b = b . a

• a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c )
• a . b . c = ( a . b ) . c = a . ( b . c )

• a . ( b + c ) = a . b + a . c
• ( a + b ) . ( c + d ) = a . c + a . d + b . c + b . d
• a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

• ${\displaystyle {\overline {a+b+c}}={\bar {a}}.{\bar {b}}.{\bar {c}}}$
• ${\displaystyle {\overline {a.b.c}}={\bar {a}}+{\bar {b}}+{\bar {c}}}$

Soit l’expression suivant : ( a + ${\displaystyle {\bar {b}}}$ + a . ${\displaystyle {\bar {b}}}$ ) . ( a . b + ${\displaystyle {\bar {a}}}$ . c + b . c )

La réduction de l’expression en commençant par la commutativité, nous obtenons :

= ( a . b ) + 0 + ( a . b ) + 0 + ( ${\displaystyle {\bar {b}}}$ . ${\displaystyle {\bar {a}}}$ . c ) + 0 + ( a . b . c ) + 0 + 0

= ( a . b ) + ( ${\displaystyle {\bar {b}}}$ . ${\displaystyle {\bar {a}}}$ . c ) + ( a . b . c )

= ( a . b ) + ( ${\displaystyle {\bar {b}}}$ . ${\displaystyle {\bar {a}}}$ . c )

= a . b + c

La réduction de l’expression en commençant par l’enlèvement d’éléments neutres, nous obtenons :

= ( a + ${\displaystyle {\bar {b}}}$ ) . ( a . b + c )

= a . b + a . c + 0 + ${\displaystyle {\bar {b}}}$ . c

= a . b + c

Faites ces exercices : Algèbre de Boole.

Électronique numérique : Fonctions logiques élémentaires

Logique de base

Introduction

Tableau de Karnaugh