Tangentiaalinen nelikulmio
Tangentiaalinen nelikulmio eli ympyrän ympäri piirretty nelikulmio on geometriassa nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa sisään piirrettyä ympyrää. Ympyrää voidaan kutsua nelikulmion sisäympyräksi ja sivuja ympyrän tangenteiksi tai tangenttijanoiksi.[1][2]
Nimitys tangentiaalinen nelikulmio on suora käännös sanoista engl. tangential quadrilateral.[1]
Ominaisuuksia
muokkaa- Jos merkitään puolipiiriä eli nelikulmion piirin puolikasta missä neljä lukua ovat sivujen pituuksia, voidaan tangentiaaliselle nelikulmiolle kirjoittaa eli vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolet piiristä.[1][2] Tämä pätee laajemminkin. Suora, joka kulkee sisäympyrän keskipisteen kautta jakaa piirin, ja myös pinta-alan, kahteen yhtäsuureen osaan.[3]
- Sisäympyrän keskipiste sijaitsee yhtä kaukana nelikulmion sivuista. Kulmanpuolittajat leikkaavat kaikki toisensa sisäympyrän keskipisteessä.[3]
- Viereisten kulmien puolikkaiden tangenttien tulo on aina 1, joten esimerkiksi ja [2]
- Lävistäjien eri puolille syntyviin kolmioihin piirretyt sisäympyrät ovat tangentiaalisia myös toisilleen.[3]
- Tällaisen nelikulmion pinta-ala on [1] missä on sisäympyrän säde.
- Sisäympyrän säde voidaan johtaa alan, piirinpuolikkaan ja Bretschneiderin lauseen avulla
missä p ja q ovat nelikulmion lävistäjiä.
Erikoistapauksia
muokkaaNeliö
muokkaaNeliö on säännöllinen nelikulmio, joten sen sivut ovat saman pituiset ja sen kulmat ovat yhtä suuret (suorat kulmat 90°). Ympyrä sivuaa neliön kulmaa sivun keskikohdasta ja siksi myös sisäympyrän säde r on puolet sivun pituudesta. Tätä etäisyyttä kutsutaan myös apoteemaksi kuten muissakin säännöllisissä monikulmioissa. Sisäympyrän keskipisteestä piirretyt säteet puolittavat neliön kulman. Neliön lävistäjä on samalla neliöä ympäröivän ympyrän halkaisija, jolloin ulkoympyrän säde R on puolet lävistäjästä. Kun sivun pituus on a, saadaan
- [4] sekä
Neljäkäs
muokkaaNeljäkäs on tasasivuinen nelikulmainen suunnikas, jonka kulmat eivät ole neliön tapaan suorat. Vastakkaiset kulmat ovat aina samansuuruiset ja vierekkäiset kulmat α ja β ovat toistensa komplementtikulmat eli . Laskuissa tullaan käyttämään näiden kulmien puolikkaita, joten eli .
Jos päätetään aluksi kulma , voidaan muut parametrit löaske seuraavasti. Neljäkkään sisäympyrä sivuaa sen kaikkia sivuja samalla tavalla niin, että sivuamispisteet osittavat ne kahdeksi eripituiseksi tangenttijanaksi. Sivun AB tangenttijanat ovat AJ = tA ja JB = tB, jotka yhdessä muodostavat neljäkkään sivun
- .[5]
Tangenttijanojen pituudet saadaan laskettua suorakulmaisista kolmioista
- (kolmiosta ) [6]
ja
- (kolmiosta ).[6]
Tangenttijanojen pituudet voidaan määrittä, kun säde tunnetaan. Se saadaan sivun pituudesta
- eli
- .
Toisaalta, jos päätetään aluksi tangenttijanojen pituudet, voidaan niiden avulla laskea muut parametrit. Neljäkkään sisäympyrän generoivan polynomin kertoimet ovat [7]
- ,
koska tA = tC ja tB = tD, ja vielä
- .
Polynomi saa muodon
- [8] eli
jonka positiivinen juuri on
- .
Viimeisestä lausekkeesta voidaan laskea myös neliön sisäympyrän säde, kun .
Katso myös
muokkaa- Syklinen nelikulmio, jossa ympyrä on piirretty nelikulmion ulkopuolelle.
- Bisentrinen nelikulmio, joka on samalla syklinen- ja tangentiaalinen nelikulmio.
- Säännöllinen monikulmio, jossa ympyrät ovat merkittävässä roolissa.
Lähteet
muokkaa- Radić, Mirko: Some relations and properties concerning tangential polygons. Mathematical Communications, 1999, nro 4, s. 197–206. Osijek, Kroatia: University of Osijek. ISSN 1331-0623 Artikkelin verkkoversio. (pdf) Viitattu 5.10.2013. (englanniksi)
Viitteet
muokkaa- ↑ a b c d e Weisstein, Eric W.: Tangential Quadrilateral (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
- ↑ a b c d Hajja, Mowaffaq: A Condition for a Circumscriptible Quadrilateral to be Cyclic. Forum Geometricorum, 2008, nro 8, s. 103–106. ISSN 1534-1178 Artikkelin verkkoversio. (pdf) Viitattu 23.9.2013. (englanniksi) (Arkistoitu – Internet Archive)
- ↑ a b c Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan: Mathematical Olympiad Treasures, s. 64–68. (kappale 2.7 Quadrilaterals with an inscribed circle) Springer, 2004. ISBN 978-0-8176-4305-8 Teoksen verkkoversio (Google-book) (viitattu 23.9.2013).
- ↑ Seppänen, Raimo et al.: MAOL, s. 31. (lukion taulukkokirja, keltainen) Helsinki: Otava, 2005. ISBN 978-951-1-20607-1
- ↑ Radić, Mirko: Some relations and properties..., s. 198, alku
- ↑ a b Radić, Mirko: Some relations and properties..., s. 198, kaava (3)
- ↑ Radić, Mirko: Some relations and properties..., s. 200
- ↑ Radić, Mirko: Some relations and properties..., s. 201, todistus