Mollweiden projektio

Mollweiden projektiossa maanpinnan kohta, jonka leveysaste on ${\displaystyle \phi }$  ja pituusaste eroaa sovitusta keski­meridiaanista kulman ${\displaystyle \lambda }$  verran, kuvataan taso­pinnan pisteeseen (x,y), jonka koordinaatit ovat:

${\displaystyle x={\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}\lambda \cos \left(\theta \right),}$ 

${\displaystyle y={\sqrt {2}}\sin \left(\theta \right),\,}$ 

missä apukulma ${\displaystyle \theta \,}$  määritellään yhtälöllä

${\displaystyle 2\theta +\sin(2\theta )=\pi \sin(\phi )\qquad (1)}$ 

Yhtälö (1) voidaan ratkaista Newtonin menetelmällä, jolloin lauseke suppenee nopeasti muualla paitsi napojen läheisyydessä:

${\displaystyle \theta _{0}=\phi ,\,}$ 

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}-{\frac {(2\theta _{n}+\sin(2\theta _{n})-\pi \sin(\phi ))}{2+2\cos(2\theta _{n})}}.\,}$ 

Jos φ = ±π/2, on myös θ = ±π/2. Tässä tapauksessa Newtonin menetelmän mukaista iteraatiota ei voida suorittaa, sillä se saattaa johtaa nollalla jakoon.

Mollweiden projektio on pseudo­sylindrinen projektio, jossa päiväntasaaja on vaakasuora viiva. Se on kohtisuorassa tiettyä, kartan keskikohdan kautta kulkevaa pituuspiiriä vastaan, jonka pituus on puolet päiväntasaajan pituudesta. Leveys­piirien väli­matkat kartalla pienenevät napoja kohti mentäessä, kun taas pituus­piirit leikkaavat päivän­tasaajan tasaisin välein. Pituus­piirit 90 astetta keskipituuspiirin itä- ja länsipuolella muodostavat täydellisen ympyrän, ja koko maapalloa esittää ellipsin muotoinen alue, jonka pituus on kaksi kertaa niin suuri kuin leveys. Pinta-alojen suhde ellipsin sekä minkä tahansa kahden leveys­piirin välillä on sama kuin vastaavien pinta-alojen suhde maapallolla, mutta alueiden muodot vääristyvät varsinkin kartan reunojen läheisyydessä, joskaan eivät niin paljon kuin sinusoidaalisessa projektiossa.

Muotojen vääristymistä voidaan vähentää käyttämällä projektion lohkottua muunnosta. Sinusoidaalisessa lohkotussa Mollweiden projektiossa ei ole yhtä keski­pituus­piiriä vaan useita keskipituuspiirin tavoin käsiteltyjä pituus­piirin puolikkaita, jotka kohtaavat päivän­tasaajan suorassa kulmassa, vuorotellen kummaltakin puolelta. Täten maan pinta jakautuu lohkoihin. Sitä vastoin yhdensuuntaisesti lohkotussa Mollweiden projektiossa käytetään useita erillisiä keski­pituus­piirejä, jolloin maan pinta jakautuu useampaan ellipsiin, jotka sivuavat toisiaan päivän­tasaajalla. Harvemmin projektiota käytetään vino­asentoisena siten, että muotojen vääristymät keskittyvät valtameriin, jolloin manteret pysyvät paremmin oikean muotoisina.

Mollweiden projektion pohjalta on kehitetty useita muita kartta­projektioita kuten Gooden homolosini­projektio, van der Grintenin projektio ja Boggsin eumorfinen projektio. ^[2]

 

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Mollweiden projektio.

• Java-appletti, jolla voidaan tutkia pinta-alan, etäisyyksien ja kulmien vääristymistä Mollweiden projektiossa (Arkistoitu – Internet Archive)
• Mollweide Projection Mathworldissa