Hypergeometrinen sarja

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Hypergeometrinen sarja on potenssisarja, jonka peräkkäisten kertoimien suhde on rationaalifunktio. Jos sarja suppenee, sen summaa kutsutaan hypergeometriseksi funktioksi. Hypergeometriset funktiot ovat monia funktioluokkia yhdistävä konsepti: muun muassa gammafunktio, virhefunktio, Besselin funktiot ja ortogonaaliset polynomit ovat niiden erikoistapauksia.

Tavallisin hypergeometrinen funktio on ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$, joka määritellään hypergeometrisena sarjana

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\,{\frac {x^{n}}{n!}}}$

eli aukikirjoitettuna

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;x)=1+{\frac {a\cdot b}{1\cdot c}}x+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{1\cdot 2c(c+1)}}x^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{1\cdot 2\cdot 3c(c+1)(c+2)}}x^{3}+\ldots }$,

mikä suppenee välillä ${\displaystyle -1<x<1}$, jos a, b ja c ovat reaalisia ja jos ${\displaystyle c-(a+b)>-1}$. Ylempänä olevassa summamerkinnässä esiintyvä lyhennysmerkintä (k)_n= k(k+1)(k+2)...(k+n-1) on Pochhammerin symboli. Hypergeometrinen funktio ${\displaystyle y(x)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;x)}$ toteuttaa hypergeometrisen differentiaaliyhtälön

${\displaystyle x(x-1){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[c-(a+b+1)x]{\frac {dy}{dx}}-aby=0}$.

Tämä on hyvin yleinen tapaus 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöstä ja asettamalla parametrien arvoja sopivasti, tästä yhtälöstä saadaan erikoistapauksina monet "tavallisemmat" differentiaaliyhtälöt.