Karteesinen tulo

Karteesinen tulo eli tulojoukko on joukko-operaatio,^[1] jolla muodostetaan kahdesta tai useammasta joukosta uusi joukko. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon ja filosofin René Descartesin mukaan. Descartes loi käsitteen kehitellessään analyyttista geometriaa.

Karteesisen tulon yleinen muoto voidaan esittää seuraavasti:

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\,|\,x_{1}\in X_{1}}$ ja ${\displaystyle \ldots }$ ja ${\displaystyle x_{n}\in X_{n}\}}$, missä ${\displaystyle X_{1},\,\ldots ,\,X_{n}}$ ovat joukkoja.

Kahden joukon X ja Y karteesinen tulo on sellaisten järjestettyjen parien (x, y) joukko, joissa x on joukon X alkio ja y joukon Y alkio.

Merkitään: ${\displaystyle X\times Y=\{(x,y)\,|\,x\in X}$ ja ${\displaystyle y\in Y\}}$.

Karteesisen tulon osajoukkoja kutsutaan binäärisiksi eli kaksipaikkaisiksi relaatioiksi.

Euklidinen kolmiulotteinen avaruus voidaan ilmaista joukkona ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$, jonka alkiot eli "pisteet" ovat järjestettyjä kolmikkoja ${\displaystyle (x,y,z)}$, missä ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {R} }$.

• Olkoot ${\displaystyle A={1,2}}$ ja ${\displaystyle B={1,2,3}}$. Tällöin ${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\,|\,a\in A}$ ja ${\displaystyle b\in B\}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}}$.
• Olkoot M = {risti, pata, ruutu, hertta} ja N = {ässä, kuningas, rouva, jätkä, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}.
  Tällöin M × N = {(risti, ässä) , (risti, kuningas), (risti, rouva),...,(hertta, 2)}. (korttipakka)
• Reaalitaso: R² = R × R = {(x, y)| x ∈ R, y ∈ R}

• Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0
• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6