Eulerren identitatea

Eulerren identitatea edertasun matematiko sakonaren adibide gisa aipatzen da askotan. Izan ere, oinarrizko eragiketa aritmetikoetako hiru zehazki behin gertatzen dira (batuketa, biderketa eta berreketa) eta, gainera, identitateak oinarrizko bost konstante matematiko lotzen ditu.^[3]

Keith Devlinek, Stanfordeko Unibertsitateko matematikako irakasleak, esan zuen moduan, "maitasunaren esentzia bera harrapatzen duen Shakespeareren soneto bat bezala, edo edertasuna giza formatik ateratzen duen pintura bat bezala, Eulerren ekuazioa existentziaren sakontasunetaraino iristen da"^[4].

 

Eulerren identitatea matematika aplikatuaren eta teorikoaren arlo askoren bihotzean dago.^[5] Identitate honek, ${\displaystyle e}$ , ${\displaystyle \pi }$  eta ${\displaystyle i}$  zenbakien arteko lotura eder eta sakona ezartzeaz gain, funtzioen eraldaketa eta manipulaziorako oinarri teorikoa ere ematen du. Azken hau egia da, bereziki, analisi konplexuan, non Eulerren identitatea kalkuluak sinplifikatzeko eta zenbaki konplexuek inplikatzen dituzten problemak ebazteko erabiltzen den.

Egia esan, ez da beharrezkoa matematikaren ezagutza sakona izatea, ezta Eulerren identitatearen frogapena ulertzeko gai izatea, identitate honek gordetzen duen edertasuna ikusteko. Izan ere, formula hain erraz batean hain funtsezkoak diren bost zenbaki erlazionatzea posiblea dela ikusteak, matematikak bere barnean duen edertasuna baloratzea eragiten du.

Arestian aipatu den moduan, Eulerren identitatea Eulerren formularen ${\displaystyle x=\pi }$  deneko kasu partikularra da.

 

Har dezagun Eulerren formula:

$${\displaystyle e^{\,ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x),\forall x\in \mathbb {R} ,}$$ 

non ${\displaystyle \sin(x)}$  eta ${\displaystyle \cos(x)}$  sinu eta kosinu funtzio trigonometrikoak diren.

Orain, ordezka dezagun ${\displaystyle x=\pi }$ :

$${\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi ).}$$ 

Badakigu ${\displaystyle \cos(\pi )=-1}$  eta ${\displaystyle \sin(\pi )=0}$  direla. Ondorioz,

$${\displaystyle e^{i\pi }=-1+i\cdot 0.}$$ 

Hau da, ${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$ ; edo, bestela adierazita, ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$ .

Funtsean, Eulerren identitateak ${\displaystyle e^{i\pi }}$  espresioa ${\displaystyle -1}$  zenbakiaren berdina dela baieztatzen du. Adierazpen hori ${\displaystyle e^{z}}$  adierazpenaren kasu berezi bat da, non ${\displaystyle z}$  edozein zenbaki konplexu den. Oro har, ${\displaystyle e^{z}}$  definitzen da funtzio esponentzialaren definizioa berretzaile errealetatik berretzaile konplexuetara hedatuz.

 

Edozein ${\displaystyle z=x+iy}$  zenbaki konplexu, ${\displaystyle (x,y)}$  puntu baten moldean adieraz daiteke plano konplexuan. Puntu hori koordenatu polarretan ere adieraz daiteke ${\displaystyle (r,\theta )}$  moduan. ${\displaystyle r}$  ${\displaystyle z}$  zenbakiaren balio absolutua da (jatorritik eta ${\displaystyle z}$  punturaino dagoen distantzia), eta ${\displaystyle \theta }$  ${\displaystyle z}$ -ren argumentua da. Sinu eta kosinu funtzioen definizioengatik, koordenatu kartesiarretan adierazitako puntua ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$  gisa adieraz dezakegu. Ondorioz, ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$  izango dugu. Baliokideki, Eulerren identitatea erabiliz, ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$  dugu.

${\displaystyle re^{i\theta }}$  funtzioan ${\displaystyle r=1}$  eta ${\displaystyle \theta =\pi }$  hartuz, ${\displaystyle e^{i\pi }}$  lortuko dugu. Kontuan izan ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$  adierazpenak ${\displaystyle z}$  zenbaki konplexua planoan adieraztea ahalbidetzen digula, ${\displaystyle r}$ -k jatorriarekiko ${\displaystyle z}$ -ren distantzia eta ${\displaystyle \theta }$ -k ${\displaystyle x}$  ardatzarekiko ${\displaystyle z}$ -k sortzen duen angelua (radianetan) adierazten dutelarik. Hortaz, Eulerren identitatea (${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$ ) erabiliz, ondoko interpretazioa egin dezakegu plano konplexuan ${\displaystyle -1}$  zenbakiaren kokapenaren inguruan: jatorriarekiko ${\displaystyle -1}$  zenbakiaren distantzia ${\displaystyle 1}$  da (${\displaystyle r=1}$  delako) eta ${\displaystyle x}$  ardatzarekiko ${\displaystyle \pi }$  radianetako angelua sortzen du (${\displaystyle \theta =\pi }$  baita).

 

Eulerren identitatea Eulerren formularen emaitza zuzena da, Leonhard Eulerrek 1748an analisi matematikoaren gaineko bere lan monumentalean argitaratu zuena, Introductio in analysin infinitorum^[6] izenekoa. Leonhard Euler matematikari eta fisikari handia izan zen, Basilean (Suitza) jaioa. XVIII. mendeko matematikaririk onena eta historiako onenetarikoa da^[7]. Ideia handiak eman zituen kalkuluaren, geometriaren, logikaren, zenbakien teoriaren eta mekanikaren arloetan, besteak beste.

Euler ezaguna da halaber frogapenetan berretura-serieak eta logaritmoak arrakastaz erabiltzeagatik. Horrez, gain, zenbaki konplexuen berretura funtzioak aztertu eta funtzio trigonometrikoekin zuten harremana aurkitu zuen. Horrela, Eulerren formula eta Eulerren identitatea definitu zituen.

Eulerren identitateak zenbaki konplexuak eta e zenbakiaren arteko harremana ulertzeko ezinbesteko da. Zenbaki horien arteko harremana garrantzi handikoa da hainbat diziplina zientifikotan, eta aurrerapen esanguratsuak ekarri ditu teoria matematikoan. Funtzioen izaeratik plano konplexuaren irudikapeneraino, Eulerren identitateak gure ulermena desafiatzen du eta gure tresna matematikoak hedatzen ditu.

Aurretik azaldu denez, Eulerren identitatea eta Eulerren formularen arteko erlazioa estua da. Bi propietate hauek denboran irauten duten aplikazio praktiko asko dituzte.

Eulerren Identitatearen funts nagusia matematikan, trigonometriaren eta analisi matematikoaren artean erlazio bat eraikitzea da. Honi esker, hainbat kasutan emaitzak modu erraz eta sinpleago batean lortu ahalko ditugu.

Esaterako, ${\displaystyle e^{\,ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)}$  Eulerren formula buruan izanda, kosinu funtzioaren kasu zehatz baten emaitza sinplifika dezakegu.

Har dezagun orain ${\displaystyle x=n\pi }$ . Horrela,

$${\displaystyle e^{\,in\pi }=\cos(n\pi )+i\cdot \sin(n\pi )}$$ 

dugu, eta ${\displaystyle \sin(k\pi )=0,\forall k\in \mathbb {Z} }$ ,  dela gogoratuz,

$${\displaystyle e^{\,in\pi }=\cos(n\pi )}$$ 

berdintza izango dugu, ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }$ .

Azter dezagun apur bat berdintzaren ezkerraldean duguna. Ikus dezakegu ${\displaystyle e^{\,in\pi }}$  hurrengo moduan berridatz daitekeela:

 

$${\displaystyle e^{\,in\pi }=(e^{\,i\pi })^{n}=(-1)^{n},\forall n\in \mathbb {Z} .}$$ 

Ondorioz, eta lehen lortutako emaitza berreskuratuz, hurrengo emaitza lortzen dugu:

$${\displaystyle \cos(n\pi )=(-1)^{n},\forall n\in \mathbb {Z} .}$$ 

Horrela, ${\displaystyle \cos(n\pi )}$ -ren adierazpena erraztu dugu ${\displaystyle n}$  edozein zenbaki osotarako.

• Funtzio esponentziala
• Plano konplexua
• Koordenatu polarrak

1. ↑ (Ingelesez) «Mathematics: Why the brain sees maths as beauty» BBC News 2014-02-13 (Noiz kontsultatua: 2024-10-30).
2. ↑ (Alemanez) «Paulos» Der Neue Pauly: 117. (Noiz kontsultatua: 2024-10-30).
3. ↑ (Ingelesez) «Mathematics: Why the brain sees maths as beauty» BBC News 2014-02-13 (Noiz kontsultatua: 2024-11-12).
4. ↑ (Ingelesez) Nahin, Paul. (2011-04-25). Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press, 1 or. ISBN 978-1-4008-3847-9. (Noiz kontsultatua: 2024-10-30).
5. ↑ (Ingelesez) Wilson, Robin J.. (2019). Euler's pioneering equation: the most beautiful theorem in mathematics. (First published in paperback. argitaraldia) Oxford University Press ISBN 978-0-19-879493-6. (Noiz kontsultatua: 2024-11-12).
6. ↑ (Alemanez) Conway, John H.; Guy, Richard K.. (1997). Zahlenzauber. , 254-255 or.  doi:10.1007/978-3-0348-6084-0. (Noiz kontsultatua: 2024-10-30).
7. ↑ (Gaztelaniaz) «Leonhard Euler» www.ugr.es (Noiz kontsultatua: 2024-11-12).
8. ↑ (Gaztelaniaz) «¿Qué dice la fórmula de Euler? | Demostración y aplicaciones» micalculadoracientifica.com 2023-02-15 (Noiz kontsultatua: 2024-10-30).
9. ↑ (Ingelesez) «Differential Equations - Euler's Method» tutorial.math.lamar.edu (Noiz kontsultatua: 2024-11-12).

• Gaztelaniazko artikulua: Identidad de Euler
• Ingelesezko artikulua: Euler's identity
• Conway, John H. eta Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer ISBN 978-0-387-97993-9
• Crease, Robert P. (2004ko maiatzaren 10ean), "The greatest equations ever", Physics World
• Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2
• Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic books