Batuketa

Matematikan, batuketa ^[1] kopuru bi edo gehiago batera jartzean sortzen den batura zenbatu edo kalkulatzeko eragiketa aritmetikoa da. + (gehi) ikurraren bitartez adierazten da batuketa. Batuketan parte hartzen duten zenbakiak batugaiak dira. Batuketaren emaitzari batura deritzo. Batuketa egiten denean, batu egiten dela esaten da.

Adibidez, alde batetik 3 ale eta bestetik 2 ale batera jartzen badira, batuketaren emaitza edo batura 3+2=5 (hiru gehi bi berdin bost) da.

Batuketa egin ahal izateko, batugaiak jite berekoak izan behar dira, batugaiak diren zenbakiak era abstraktuan hartzen ez badira behintzat. Adibidez, 3 katu eta 4 euro ezin dira batu ^[2].

Kopuruez gainera, batuketa era guztietako zenbakietan erabil daiteke: zenbaki naturalak, zenbaki osoak, arrazional, erreal eta zenbaki konplexuak eta haiei elkarturiko egiturak, polinomioak kasu.

Batuketa da haurrek ikasten duten lehenengo eragiketa matematikoa. 4 edo 5 urte bete baino lehen ez da komeni batuketa sistematikoki irakastea ^[3], nahiz eta lehenago ere batuketa sinpleak egiteko gauza diren. Bestalde, haur txikientzako jolas anitz dago merkatuan batuketak garatu eta ikasteko, abakoak kasu. Batuketak ikasteko prozesuan bururako ez duten batuketak egiten ikasten da lehendabizi (ikus Kalkulua orri honetan bertan), ondoren bururakoa eskatzen duten batuketei heltzeko.

Egiptoarrek zenbaki arruntak eta zatikiak batu zituzten. Babiloniarrek zenbaki arrunten karratuak batu zituzten. Aldiz, txinatarrek eta indiarrek zenbaki negatiboak batu zituzten.

Errenazimenduan, hamartarren batura nagusitu zen. Gainera, logaritmo hamartarren eransketa ere ezagun egin zen, zenbakien biderketa modu eraginkorrean ordezkatzen zuena, hainbat arlotan, hala nola, merkataritzan, finantzetan, astronomian, nabigazioan, etab.

Batuketak egiten ikasteko, 0tik 9ra bitarteko bi zenbakien batuketak ikasi behar dira lehendabizi. Batuketa hauek batuketa taulan biltzen dira:

Batuketa taulen ordez, haurrek batu beharreko zenbakia adina puntu dituen paper zatiak erabil ditzakete. Batuketa sinpleak egiterakoan, bi batugaiei dagozkien paper zatiak elkarren ondoan jarri eta guztirako puntu kopurua zenbatu daiteke ^[4].

Ondoren, bururakorik gabeko batuketak ikasten dira. Horretarako, batuketako zenbaki osoak eskuinetik parekatuta jartzen dira lehendabizi, batekoak, hamarrekoak eta abar zutabe berean izan daitezen. Ondoren, zutabe bakoitzeko baturak, hurrenez hurren unitate, hamarreko, ehuneko eta abarren batuketak alegia zenbaki-sistema hamartarrean betiere, egiten dira bi zenbakien batura kalkulatzeko. Bururakorik gabeko batuketak zutabe bakoitzean baturak 9 baino handiagoa ez dutenak dira. Adibidez,

  3 5      1 3 2        8 5 7 
+ 2 3    +   4 5      + 1 2 1
------   --------      --------
  5 8      1 7 7        9 7 8 

Bururako dagoenean, hau da, zutabe bateko batura 10 edo handiagoa denean, zutabe bakoitzeko batuketa egin behar da, eskuinetik ezkerrera, emaitza bakoitzeko hamarrekoak, balira, hurrengo zutaberako gordez. Adibidez,

           (1)           (1)(1)
   3 5      1 3 2         8  5  7 
+  8 3    +   7 5      +  1  7  4
------   --------      ----------
 1 1 8      2 0 7      1  0  3  1 

Batugaiak 2 baino gehiago direnean, batuketa modu berean egiten da, propietate elkarkorrari esker, bururakoa 1 baino handiagoa izan daitekeela kontuan hartuz betiere.

1. Propietate trukakorra: ${\displaystyle a+b=b+a\!}$, hau da, batugaien ordena aldaturik, batuketaren emaitza ez da aldatzen.
2. Propietate elkarkorra: ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c\!}$, batugai anitzeko batuketak egiteko, batugaiak binaka hartu eta batuketa partzialak egin daitezke, ondoren batura partzial hauen batuketa egiteko.
3. Elementu neutroa: ${\displaystyle a+0=0+a=a\!}$, hau da, zeroa da batuz gero, batura aldatzen ez duen zenbakia.
4. Aurkako elementua: ${\displaystyle a+(-a)=(-a)+a=0\!}$

Jean Piaget eta konstruktibismoaren printzipioak onartuz, ez da egokitzat jotzen batuketa bere algoritmoaren bitartez hasieratik ikastea. Haurrak zenbaketa kontzeptua barneratu ondoren, unitateak gaineratzearen ondorioak bere kabuz ikastea da egokiena. Haurrek batez beste lau urte dituztela ikasten dute zenbaketa. Aurretik batuketarekin harremana izan badute ere, zenbaketa +1 motako batuketak egitea besterik ez baita (edo binaka kontatuz gero, +2), une horretatik aurrera hasiko dira batuketa modu trinkoagoan garatzen. Bloke kopuru ezberdinak bateratuz eta antzeko esperientziak erabiliz, barneratuko du batuketa. Aurreko lan hau guztia burutu ondoren, 6 urterekin, Lehen Hezkuntzako lehen mailan hasi ohi da batuketaren algoritmoa ikasten. Batuketarekin jolasteko baliabideen artean Cuisenaire zotzak dira ezagunak.

Batuketa batean, termino guztiak banaka idazten badira, "+" ikurra erabiltzen da.Hau da, 1,3 eta 5 zenbakien batura, ${\displaystyle 1+3+5=9}$ da.

Hala ere, batura luzeetan edo infinituetan beste sinbolo bat erabiltzen da, batukari deiturikoa, letra greko honen bidez adierazten dena, ${\displaystyle \sum }$.