Producto de Cauchy

${\displaystyle x_{i}=0}$  para todo ${\displaystyle i>n}$  y ${\displaystyle y_{i}=0}$  para todo ${\displaystyle i>m}$ . En este caso el producto de Cauchy de ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }x_{i}}$  y ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }y_{i}}$  se verifica es ${\displaystyle (x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\dots +y_{m})}$ . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

• Primer ejemplo. Sean ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ , sea ${\displaystyle x_{n}=a^{n}/n!\,}$  y ${\displaystyle y_{n}=b^{n}/n!\,}$ . Entonces

${\displaystyle C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}}$ 

por definición y por la fórmula binomial. Dado que, formalmente, ${\displaystyle \exp(a)=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$  y ${\displaystyle \exp(b)=\sum _{n=0}^{\infty }y_{n}}$ , se ha demostrado que ${\displaystyle \exp(a+b)=\sum _{n=0}^{\infty }C(x,y)(n)}$ . Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula ${\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}$  para todo ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ .

• Segundo ejemplo. Sea ${\displaystyle x_{n}=1}$  para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ . Entonces ${\displaystyle C(x,x)(n)=n+1}$  para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ . Por lo tanto el producto de Cauchy ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C(x,x)(n)=\lim _{n\rightarrow +\infty }(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )}$  y no es convergente.

Sean x, y sucesiones reales. Franz Mertens demostró que si la serie ${\displaystyle \sum y}$  converge a Y y la serie ${\displaystyle \sum x}$  converge absolutamente a X entonces el producto de Cauchy de ellas ${\displaystyle \sum C(x,y)}$  converge a XY. No es suficiente con que ambas series sean condicionalmente convergentes. Por ejemplo, la sucesión ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}/{\sqrt {n+1}}}$  genera una serie condicionalmente convergente pero la sucesión ${\displaystyle C(x,x)}$  no converge a 0. Ver la demostración a continuación.

Sea ${\displaystyle X_{n}=\sum _{i=0}^{n}x_{i}}$ , ${\displaystyle Y_{n}=\sum _{i=0}^{n}y_{i}}$  y ${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)}$ . Entonces ${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{i}x_{k}y_{i-k}=\sum _{i=0}^{n}Y_{i}x_{n-i}}$  si se reordena. Por lo tanto ${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}}$ . Fijando un ${\displaystyle \epsilon >0}$ . Dado que ${\displaystyle \sum x}$  es absolutamente convergente y ${\displaystyle \sum y}$  es convergente entonces existe un entero N tal que para todo ${\displaystyle n\geq N}$  ${\displaystyle |Y_{n}-Y|<{\frac {\epsilon /4}{\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|+1}}}$  y un entero M tal que para todo ${\displaystyle n\geq M}$  ${\displaystyle |x_{n-N}|<{\frac {\epsilon }{4N\sup |Y_{n}-Y|+1}}}$  (dado que la serie converge, la sucesión debe converger a 0). También, existe un entero L tal que si ${\displaystyle n\geq L}$  entonces ${\displaystyle |X_{n}-X|<{\frac {\epsilon /2}{|Y|+1}}}$ . Por lo tanto,

${\displaystyle |C_{n}-XY|=|\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i=0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\epsilon }$ 

para todos los enteros n mayores que N, M, y L. Por la definición de convergencia de una serie ${\displaystyle \sum C(x,y)\to XY}$ .

Si x e y son sucesiones reales y ${\displaystyle \sum x\to A}$  y ${\displaystyle \sum y\to B}$  entonces ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=0}^{n}C(x,y)_{n}\right)\to AB}$ 

Todo lo enunciado en las secciones precedentes es aplicable a las sucesiones de números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Se puede definir también el producto de Cauchy para series en espacios euclídeos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  donde la multiplicación es el producto interno. En este caso, se verifica que si dos series convergen en forma absoluta entonces su producto de Cauchy converge en forma absoluta al producto interno de los límites.

• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd edición), Addison Wesley, p. 204, ISBN 978-0-201-00288-1 .
• Hardy, G. H. (1949), Divergent Series, Oxford University Press, p. 227–229 .