Problema del ganado

El texto original del problema se conserva gracias a G. E. Lessing, que lo publicó en 1773 junto con una solución incorrecta.^[3]​ Aunque el problema está redactado de forma algo ambigua, las interpretaciones más verosímiles lo reconstruyen así:

El dios sol tenía un rebaño formado por un cierto número de toros blancos, negros, moteados y amarillos, así como vacas de los mismos colores. De tal forma que:

• El número de toros blancos es la mitad y la tercera parte de los negros más los amarillos.
• El número de toros negros es igual a la cuarta más la quinta parte de los moteados más los amarillos.
• El número de toros moteados es igual a la sexta más la séptima parte de los blancos más los amarillos.
• El número de vacas blancas es igual a un tercio más un cuarto de la suma de los toros negros y las vacas negras.
• El número de vacas negras es igual a la cuarta parte más la quinta aparte de la suma de los toros moteados más las vacas moteadas.
• El número de vacas moteadas es igual a la quinta más la sexta parte de la suma de los toros amarillos más las vacas amarillas.
• El número de vacas amarillas es igual a la sexta más la séptima parte de la suma de los toros blancos más las vacas blancas.

Resolver el problema así planteado supone un conocimiento avanzado de las matemáticas, según el autor. No obstante, para demostrar la completa maestría en la materia, se añaden otras dos condiciones adicionales:

• La suma de los toros blancos y negros es un número cuadrado.
• La suma de los toros moteados y amarillos es un número triangular.

El problema puede reducirse a un sistema de ecuaciones lineales con ocho incógnitas, siendo:

La primera parte del enunciado equivale al sistema de nueve ecuaciones diofánticas:

${\displaystyle {\begin{aligned}W&{}={\frac {5}{6}}B+Y\\B&{}={\frac {9}{20}}D+Y\\D&{}={\frac {13}{42}}W+Y\\w&{}={\frac {7}{12}}(B+b)\\b&{}={\frac {9}{20}}(D+d)\\d&{}={\frac {11}{30}}(Y+y)\\y&{}={\frac {13}{42}}(W+w)\end{aligned}}}$ 

Las dos últimas ecuaciones se refieren a las dos últimas condiciones del problema, en el que los números cuadrado y triangular se obtienen a partir de dos número enteros: m y n respectivamente:

${\displaystyle {\begin{aligned}W+B=m^{2}\\Y+D=n(n+1)/2\end{aligned}}}$ 

El sistema de ocho ecuaciones expuesto arriba es indeterminado, lo que significa que tiene infinitas soluciones. Las menores soluciones enteras son las siguientes:^[1]​

${\displaystyle {\begin{aligned}B&{}=7,460,514\\W&{}=10,366,482\\D&{}=7,358,060\\Y&{}=4,149,387\\b&{}=4,893,246\\w&{}=7,206,360\\d&{}=3,515,820\\y&{}=5,439,213\end{aligned}}}$ 

que suman un total de 50 389 082 reses. Las demás soluciones enteras son múltiplos de estas.

Es destacable que los cuatro primeros números son múltiplos de 4657, un valor que se repite más adelante.

La solución general a la segunda parte fue descubierta por A. Amthor^[4]​ en 1880. La versión expuesta aquí fue descrita por H. W. Lenstra,^[5]​ utilizando una ecuación de Pell. La solución a la primera parte debe ser multiplicada por:

${\displaystyle n={\frac {(w^{4658j}-w^{-4658j})^{2}}{(4657)(79072)}}\,}$ 

donde

${\displaystyle w=300426607914281713365{\sqrt {609}}+84129507677858393258{\sqrt {7766}}}$ 

y j es cualquier entero positivo. De manera equivalente, elevar al cuadrado w da como resultado:

${\displaystyle w^{2}=u+v{\sqrt {(609)(7766)}}\,}$ 

donde {u,v} son las soluciones fundamentales de la ecuación de Pell

${\displaystyle u^{2}-(609)(7766)v^{2}=1\,}$ 

o lo que es lo mismo ${\displaystyle \qquad u^{2}-4729494v^{2}=1}$ 

Su resolución mediante fracciones continuas lleva a los valores mínimos:

${\displaystyle u=109931986732829734979866232821433543901088049}$ 

${\displaystyle v=50549485234315033074477819735540408986340}$ 

Y ello conduce a la solución mínima, que no única, al problema original, que es aproximadamente:^[6]​

${\displaystyle N=7,760271\times 10^{206544}}$ 

Es decir, un número con 206 545 cifras. Hasta décadas recientes no ha podido ser este calculado con exactitud gracias al empleo de ordenadores.

• Weisstein, Eric W. «Archimedes' Cattle Problem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 8 de septiembre de 2013. 
• Archimedes' Cattle Problem.