Número de Heegner

El polinomio de generación principal de Euler

${\displaystyle n^{2}-n+41,\,}$ 

que da primos (distintos) para n = 1, ..., 40, está relacionado con el número 163 de Heegner   =   4 · 41 - 1)

La fórmula de Euler, con ${\displaystyle n}$  tomando los valores entre 1, ... 40 es equivalente a

${\displaystyle n^{2}+n+41,\,}$ 

con ${\displaystyle n}$  tomando los valores 0, ... 39. Rabinowitz^[3]​ demostró que

${\displaystyle n^{2}+n+p\,}$ 

da primos para ${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$  si y solo si su discriminante ${\displaystyle 1-4p}$  es el negativo de un número de Heegner.

(Téngase en cuenta que si ${\displaystyle p-1}$  produce ${\displaystyle p^{2}}$ , entonces ${\displaystyle p-2}$  es un máximo). 1, 2 y 3 no tienen la forma requerida, por lo que los números de Heegner que funcionan son ${\displaystyle 7,11,19,43,67,163}$ , produciendo funciones generadoras principales de la forma de Euler para ${\displaystyle 2,3,5,11,17,41}$ ; estos últimos números fueron denominados números afortunados de Euler por el matemático F. Le Lionnais.^[4]​

La constante de Ramanujan es el número trascendental ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$ , que es un casi entero, ya que está muy cerca de un entero:

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots }$  ^[5]​ ${\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744.}$ 

Este número fue descubierto en 1859 por el matemático Charles Hermite.^[6]​ En un artículo de 1975 de April Fool en la revista Scientific American,^[7]​ el columnista de la sección "Juegos matemáticos" Martin Gardner hizo la falsa afirmación de que el número era en realidad un número entero, y que el genio matemático indio Srinivasa Ramanujanlo había predicho, y de ahí su nombre.

Esta coincidencia se explica por la multiplicación compleja y la expansión q del j-invariante.

Brevemente, ${\displaystyle j((1+{\sqrt {-d}})/2)}$  es un entero cuando d es un número de Heegner, y ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j((1+{\sqrt {-d}})/2)+744}$  a través de la q- expansión.

Si ${\displaystyle \tau }$  es un irracional cuadrático, entonces el j- invariante es un entero algebraico de grado ${\displaystyle |{\mbox{Cl}}(\mathbf {Q} (\tau ))|}$ , el número de clase de ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$  y el polinomio mínimo (entero mónico) que lo satisface se llama 'polinomio de clase de Hilbert'. Así, si la extensión cuadrática imaginaria ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$  tiene la clase número 1 (entonces d es un número de Heegner), el j- invariante es un número entero.

La expansión q de j, con su expansión de la serie de Fourier escrita como una serie de Laurent en términos de ${\displaystyle q=\exp(2\pi i\tau )}$ , comienza como:

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots .}$ 

Los coeficientes ${\displaystyle c_{n}}$  crecen asintóticamente como ${\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O(\ln(n))}$ , y los coeficientes de orden más bajo crecen más lentamente que ${\displaystyle 200\,000^{n}}$ . Entonces, para ${\displaystyle q\ll 1/200\,000}$ , j está muy bien aproximado por sus dos primeros términos. Ajustando ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2}$  se obtiene ${\displaystyle q=-\exp(-\pi {\sqrt {163}})}$  o equivalentemente, ${\displaystyle {\frac {1}{q}}=-\exp(\pi {\sqrt {163}})}$  . Ahora ${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}$ , y entonces

${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).}$ 

O,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$ 

donde el término lineal del error es

${\displaystyle -196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}$ 

explicando por qué ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$  está tan aproximadamente cercano a ser un número entero.

Los hermanos Chudnovsky descubrieron en 1987 que

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}}}$ 

que usa el hecho de que ${\displaystyle j\left({\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}}$ . Para fórmulas similares, véase la serie de Ramanujan-Sato.

Para los cuatro números más grandes de Heegner, las aproximaciones que se obtienen^[8]​ son las siguientes.

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$ 

Alternativamente,^[9]​

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$ 

donde la razón de los cuadrados se debe a ciertas series de Eisenstein. Para números de Heegner ${\displaystyle d<19}$ , no se obtiene un número casi entero; incluso ${\displaystyle d=19}$  no es digno de mención. Los enteros j- invariantes son altamente factorizables, lo que se deduce de ${\displaystyle 12^{3}(n^{2}-1)^{3}=(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1))^{3}}$ , forma y factor como

${\displaystyle {\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5\,280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640\,320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}.\end{aligned}}}$ 

Estos números trascendentales, además de estar estrechamente aproximados por enteros (que son simplemente números algebraicos de grado 1), se pueden aproximar estrechamente por números algebraicos de grado 3,^[10]​

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;\ \ \qquad \qquad \qquad x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;\qquad \qquad \quad x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,001\,9;\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}}$ 

Las raíces de los polinomios de tercer grado se pueden dar exactamente por cocientes de la función eta de Dedekind η(τ), una función modular que implica una raíz 24 y que explica la aparición del número 24 en la aproximación. También se pueden aproximar estrechamente por números algebraicos de grado 4,^[11]​

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2(1-960/24+7{\sqrt {3\cdot 43}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2(1-5\,280/24+31{\sqrt {3\cdot 67}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2(1-640\,320/24+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}}$ 

Si ${\displaystyle x}$  denota la expresión entre paréntesis (p. ej. ${\displaystyle x=3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}}$  ), satisface respectivamente las ecuaciones cuárticas

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{4}-4\cdot 3x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}\qquad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 9x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}\ \ \quad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 21x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}\quad \ \;-{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3=0\\\end{aligned}}}$ 

Téngase en cuenta la reaparición de los enteros ${\displaystyle n=3,9,21,231}$  así como el hecho de que

${\displaystyle {\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-(1-96/24)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19)=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-960/24)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43)=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-5\,280/24)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67)=5\,280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-640\,320/24)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163)=640\,320^{2}\end{aligned}}}$ 

que, con la potencia fraccional apropiada, son precisamente los j-invariantes.

Similarmente para números algebraicos de grado 6,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$ 

donde las x están dadas respectivamente por la raíz apropiada de las ecuaciones séxticas,

${\displaystyle {\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5\,280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}}$ 

con los j-invariantes apareciendo de nuevo. Estas ecuaciones séxticas no solo son algebraicas, sino que también se pueden resolver en radicales, ya que se convierten en dos cúbicas sobre la extensión ${\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}}$  (con la primera factorización adicional en dos polinomios cuadráticos). Estas aproximaciones algebraicas se pueden expresar exactamente en términos de cocientes eta de Dedekind. Como ejemplo, sea ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2}$ , entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$ 

donde los cocientes eta son los números algebraicos dados anteriormente.

Los tres números ${\displaystyle 88,148,232}$ , para los que el campo cuadrático imaginario ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]}$  tiene número de clase ${\displaystyle 2}$ , no se consideran números de Heegner, pero tienen ciertas propiedades similares en términos de casi enteros. Por ejemplo, se tiene que

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744\approx \quad \quad 2\,508\,952^{2}&-.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744\approx \quad 199\,148\,648^{2}&-.000\,97\dots \\\ e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744\approx 24\,591\,257\,752^{2}&-.000\,0078\dots \\\end{aligned}}}$ 

y

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx (6+4{\sqrt {2}})^{6}\quad +.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}{\color {red}+}\,24&\approx (12+2{\sqrt {37}})^{6}-.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx (27+5{\sqrt {29}})^{6}-.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}}$ 

Dado un primo impar p, si se calcula ${\displaystyle k^{2}{\pmod {p}}}$  para ${\displaystyle k=0,1,\dots ,(p-1)/2}$  (esto es suficiente porque ${\displaystyle (p-k)^{2}\equiv k^{2}{\pmod {p}}}$ ), se obtienen compuestos consecutivos, seguidos de números primos consecutivos, si y solo si p es un número de Heegner.^[12]​

Para más detalles, consúltese "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" (Polinomios Cuadráticos que Producen Primos Distintos Consecutivos y Grupos de Clase de Campos Cuadráticos Complejos), de Richard Mollin.^[13]​

• Weisstein, Eric W. «Heegner Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• OEIS sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization)
• Problema del número de clase de Gauss para campos cuadráticos imaginarios, por Dorian Goldfeld: Historia detallada del problema.
• Clark, Alex. «163 and Ramanujan Constant». Numberphile. Brady Haran. Archivado desde el original el 16 de mayo de 2013. Consultado el 28 de junio de 2020.