Bifurcación tridente

 

La forma normal de la bifurcación tridente supercrítica es:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}.}$ 

Para los valores negativos de ${\displaystyle r}$ , hay un equilibrio estable en ${\displaystyle x=0}$ . Para ${\displaystyle r>0}$  hay un equilibrio inestable en ${\displaystyle x=0}$ , y dos equilibrios estables para ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {r}}}$ .

 

La forma normal de la bifurcación tridente subcrítica es:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.}$ 

En este caso, para ${\displaystyle r<0}$  el equilibrio en ${\displaystyle x=0}$  es estable, y hay dos equilibrios inestables en ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-r}}}$ . Para ${\displaystyle r>0}$  el equilibrio en ${\displaystyle x=0}$  es inestable.

Una ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,r)\,}$ 

descrita por una función uniparamétrica ${\displaystyle f(x,r)}$  con ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$  satisfaciendo:

${\displaystyle -f(x,r)=f(-x,r)\,\,}$   (f es una función impar),

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})\neq 0,\\[12pt]\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{o})=0,&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial r\partial x}}(0,r_{o})\neq 0.\end{array}}}$ 

tiene una bifurcación de pitchfork en ${\displaystyle (x,r)=(0,r_{o})}$ . La forma de la bifurcación es dada por el signo de la tercera derivada:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{o})\left\{{\begin{matrix}<0,&\mathrm {supercritical} \\>0,&\mathrm {subcritical} \end{matrix}}\right.\,\,}$ 

• Diagrama de bifurcación
• Bifurcación de Hopf