Reglas de derivación

Este es un resumen de reglas de diferenciación, esto es, reglas para calcular la derivado de una función en cálculo.

A menos que se diga lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$) que regresan valores reales, es decir, ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$.

Para cualesquier funciones ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ y cualesquiera números reales ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, la derivada de la función ${\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}$ con respetar a ${\displaystyle x}$ es

${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).}$

en la notación de Leibniz esto se escribe como:

${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$

Casos especiales incluyen:

• La regla del producto por una constante

${\displaystyle (af)'=af'}$

• La regla de suma

${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$

• La regla de la resta

${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}$

Para las funciones ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$, la derivada de la función ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$ con respecto a ${\displaystyle x}$ es

${\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$

En la notación de Leibniz esto se escribe como

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}$

La derivada de la función ${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$ es

${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$

En la notación de Leibniz esto se escribe como:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}$

a menudo abreviado a

${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$

Si la función ${\displaystyle f}$ tiene como función inversa ${\displaystyle g}$, esto es, ${\displaystyle g(f(x))=x}$ y ${\displaystyle f(g(y))=y}$ entonces

${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$

En Leibniz notación esto se escribe como

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}$

Si ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$, para cualquier número real ${\displaystyle r\neq 0,}$ entonces

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$

cuando ${\displaystyle r=1,}$ esto se convierte en el caso especial que si ${\displaystyle f(x)=x}$ entonces ${\displaystyle f'(x)=1.}$

Combinando la regla de la potencia con la suma y las reglas del producto por una constante permite el cálculo de la derivada de cualquier polinomio.

La derivada de ${\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$ para cualquier función ${\displaystyle f}$ es:

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}$

siempre que ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ para toda ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

En la notación de Leibniz esto se escribe como

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$

La regla recíproca puede ser obtenida a partir de la regla de cociente o de la combinación de regla de una potencia y la regla de cadena.

Si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son funciones entonces:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }$

siempre que ${\displaystyle g\neq 0}$.

Esta puede ser obtenida a partir de la regla de producto y la regla recíproca.

La regla elemental de la potencia generalizada cambia considerablemente. La regla de la potencia más general es la regla de la potencia a una función: para cualesquiera funciones ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$

como casos especiales se tiene

• Si ${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$ entonces ${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$ cuando ${\displaystyle a\neq 0}$ es un número real cualquiera y ${\displaystyle x}$ es positivo.
• La regla recíproca puede ser obtenida como el caso especial cuando ${\textstyle g(x)=-1\!}$.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}$

la ecuación de arriba es válida para todo ${\displaystyle c}$, pero la derivada para ${\textstyle c<0}$ obtiene un número complejo.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}$

la ecuación de arriba también es válida para todo ${\displaystyle c}$ pero se obtiene un número complejo si ${\textstyle c<0\!}$.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ y si }}{\frac {df}{dx}}{\text{ y }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ existen.}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ si }}f_{i<n}(x)>0{\text{ y }}}$ ${\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ existe. }}}$

La derivada logarítmica es otra manera de enunciar la regla para derivar el logaritmo de una función (utilizando la regla de cadena):

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }$

cuando ${\displaystyle f}$ es positiva.

La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. Los logaritmos pueden ser utilizados para remover exponentes, convertir productos en sumas y convertir una división a una resta.

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x}$	${\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}$	${\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)}$	${\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle (\sec x)'=\tan x\sec x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\csc x)'=-\cot x\csc x}$	${\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$
${\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}$	${\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Función gamma${\displaystyle \quad \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$ ${\displaystyle \Gamma '(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}$ ${\displaystyle \,=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle \,=\Gamma (x)\psi (x)}$ con ${\displaystyle \psi (x)}$ siendo la función digamma, expresada por la expresión en paréntesis a la derecha de ${\displaystyle \Gamma (x)}$.

Función de Zeta del Riemann${\displaystyle \quad \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$ ${\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots }$ ${\displaystyle \,=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}}$

Supone que se requiere derivar con respetar a ${\displaystyle x}$ la función

${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$

donde las funciones ${\displaystyle f(x,t)}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}$ son ambas continuas en ${\displaystyle t}$ y en ${\displaystyle x}$ en alguna del plano ${\displaystyle (t,x)}$, incluyendo ${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ y las funciones ${\displaystyle a(x)}$ y ${\displaystyle b(x)}$ son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuos para ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$ entonces para:${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}$:

${\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}$

esta fórmula es la forma general de la regla de diferenciación de Leibniz y puede ser obtenida utilizando el teorema fundamental de cálculo.

Algunas reglas existen para calcular la ${\displaystyle n}$-ésima derivada de una función, donde ${\displaystyle n}$ es un entero positivo. Estas incluyen:

Si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son ${\displaystyle n}$ veces diferenciables entonces

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}$

donde ${\displaystyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ y el conjunto ${\displaystyle \{k_{m}\}}$ consta de todos los enteros no negativos que son soluciones de la ecuación de Diophantine ${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$.

Si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son ${\displaystyle n}$ veces diferenciables entonces

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$

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