Regla de l'Hôpital

En matemáticas, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli^[1]​ es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.^[2]​

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.^[1]​ La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por medio del cual el marqués de L'Hopital compró los derechos de los descubrimientos matemáticos de Bernoulli.^[3]​

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da solo en el caso de las indeterminaciones del tipo ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ o ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$.^[4]​^[5]​^[6]​

Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c. Si existe el límite L de f '/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto, ${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=\lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}=L}$ Guillaume de l'Hôpital

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa requiere de argumentos de tipo ${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$ más delicados.^[4]​^[6]​

• Como ${\displaystyle g(c)=0}$ y ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ si ${\displaystyle x\neq c}$, se tiene que ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ si ${\displaystyle x\neq c}$ como consecuencia del Teorema de Rolle.

• Dado que f(c)=g(c)=0, aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy, para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe t_x en el intervalo de extremos a y b, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle {\cfrac {f(x)}{g(x)}}={\cfrac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}={\cfrac {f'(t_{x})}{g'(t_{x})}}}$

• Cuando x tiende hacia c, igualando los valores de las igualdades de arriba, t_x también tiende hacia c, así que:

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\cfrac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\cfrac {f'(t_{x})}{g'(t_{x})}}=L}$

Nota: el último paso al límite, aunque es cierto, requeriría una justificación más rigurosa.

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que se deriva el numerador y el denominador por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}\quad \xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} } \quad \lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)}{1}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{1}}=1}$

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}-2x}{x-\operatorname {sen}(x)}}}$

${\displaystyle {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-(-e^{-x})-2}{1-\cos(x)}}}$

${\displaystyle \xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} } \quad \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{\operatorname {sen}(x)}}}$

${\displaystyle {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-(-e^{-x})}{\cos(x)}}={\frac {e^{0}+e^{-0}}{\cos(0)}}={\frac {1+1}{1}}=2}$

Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {0}{0}}\end{matrix}}}$ mediante transformaciones algebraicas:

Las indeterminaciones de tipo ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\infty }{\infty }}\end{matrix}}}$ se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\cfrac {x^{4}}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\cfrac {1}{x}}{\cfrac {1}{x^{4}}}}}$

De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\infty }{\infty }}\end{matrix}}}$ también se pueden resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.

A veces algunos límites indeterminados que no se presentan como cocientes pueden ser resueltos con esta regla, recurriendo a transformaciones previas que lleven a un cociente del tipo ${\displaystyle {\cfrac {0}{0}}}$ o ${\displaystyle {\cfrac {\infty }{\infty }}}$.

• Tipo ${\displaystyle 0\cdot \infty }$

Se trata de hacer una transformación como           ${\displaystyle 0\cdot \infty ={\cfrac {0}{\cfrac {1}{\infty }}}={\cfrac {0}{0}}}$           o         ${\displaystyle 0\cdot \infty ={\cfrac {\infty }{\cfrac {1}{0}}}={\cfrac {\infty }{\infty }}}$

El más clásico:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}x\cdot \log(x)=\lim _{x\to 0}{\cfrac {\log(x)}{\cfrac {1}{x}}}\quad {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\cfrac {\cfrac {1}{x}}{\cfrac {-1}{x^{2}}}}=\lim _{x\to 0}(-x)=0}$

• Tipo ${\displaystyle \infty -\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-x}}\right)\left(x-{\sqrt {x^{2}-x}}\right)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {x^{2}-(x^{2}-x)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\overbrace {x} ^{\infty }}{\underbrace {x+{\sqrt {x^{2}-x}}} _{\infty }}}={\cfrac {\infty }{\infty }}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\cfrac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to \infty }{\cfrac {(x)'}{(x+{\sqrt {x^{2}-x}})'}}=}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2x-1}{2{\sqrt {x^{2}-x}}}}}}={\cfrac {1}{1+1}}={\cfrac {1}{2}}}$

• La regla de L'Hôpital vale para límites laterales, límites en el infinito y límites infinitos.

• La regla de L'Hôpital se puede extender a funciones escalares de n variables que sean diferenciables. Dadas dos funciones diferenciables f y g tales que f(c) = g(c) = 0, se tiene:

${\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {c} }{\frac {f(\mathbf {x} )}{g(\mathbf {x} )}}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {c} }{\frac {\nabla f(\mathbf {x} )\cdot (\mathbf {x-c} )}{\nabla g(\mathbf {x} )\cdot (\mathbf {x-c} )}}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {c} }{\frac {\|\nabla f(\mathbf {x} )\|}{\|\nabla g(\mathbf {x} )\|}}\left({\frac {\cos \theta _{f}}{\cos \theta _{g}}}\right)}$

${\displaystyle \nabla f\nabla g}$, representan los gradientes de ambas funciones escalares.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$, representa el producto escalar de dos vectores.

${\displaystyle \|\cdot \|}$, representa la norma de un vector.

${\displaystyle \theta _{f}}$, es el ángulo formado por el gradiente de f y el vector ${\displaystyle \mathbf {x-c} }$.

${\displaystyle \theta _{g}}$, es el ángulo formado por el gradiente de g y el vector ${\displaystyle \mathbf {x-c} }$.

• Límite matemático
• Infinitesimal
• Límite de una función
• Forma indeterminada

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Regla de l'Hôpital.
• Kudryavtsev, L.D. (2001), «L%27Hospital_rule&oldid=14236», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .