Menor (álgebra lineal)

En álgebra lineal, un menor o menor complementario de una matriz ${\displaystyle A}$ es el determinante de alguna submatriz, obtenido de ${\displaystyle A}$ mediante la eliminación de una o más de sus filas o columnas. Los menores obtenidos por la eliminación de únicamente una fila y una columna de matrices cuadradas se llaman primeros menores y se necesitan para encontrar la matriz de cofactores, la cual es útil para calcular el determinante y la inversa de matrices cuadradas.

Sea ${\displaystyle A}$ una matriz de ${\displaystyle m\times n}$ y ${\displaystyle k}$ un entero con ${\displaystyle 0<k\leq \min\{m,n\}}$, un menor de orden ${\displaystyle k\times k}$ de ${\displaystyle A}$ es el determinante de una matriz ${\displaystyle k\times k}$ obtenida de ${\displaystyle A}$ mediante la eliminación de ${\displaystyle m-k}$ filas y ${\displaystyle n-k}$ columnas.

Puesto que hay:

${\displaystyle {m \choose k}}$ (leído como "m combinaciones de k")

maneras de escoger ${\displaystyle k}$ filas de ${\displaystyle m}$ filas, y hay

${\displaystyle {n \choose k}}$

maneras de escoger ${\displaystyle k}$ columnas de ${\displaystyle n}$ columnas, hay en total

${\displaystyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$

menores de tamaño ${\displaystyle k\times k}$.

El menor ${\displaystyle (i,j)}$ (a menudo denotado como ${\displaystyle M_{ij}}$) de una matriz cuadrada ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle n\times n}$, es definido como el determinante de la matriz ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$ formada mediante la eliminación de la ${\displaystyle i}$-ésima fila y la ${\displaystyle j}$-ésima columna de ${\displaystyle A}$. Un menor ${\displaystyle (i,j)}$ puede ser referido también como ${\displaystyle (i,j)}$-ésimo menor, o simplemente menor ${\displaystyle ij}$ .

${\displaystyle M_{ij}}$ puede encontrarse también eliminando los índices correspondientes al elemento a_ij de la matriz ${\displaystyle A}$, en cuyo caso decimos que ${\displaystyle M_{ij}}$ es el menor de ${\displaystyle a_{ij}}$

Un menor formado por la eliminación de una única fila y una única columna de una matriz cuadrada ${\displaystyle A}$ (tal como ${\displaystyle M_{ij}}$) es llamado primer menor. Cuando dos filas y dos columnas son eliminada, se le llama segundo menor.^[1]​

El determinante de cualquier submatriz de ${\displaystyle k\times k}$ de ${\displaystyle A}$ se llama menor de tamaño ${\displaystyle k}$.

• Si la submatriz es una submatriz principal, su determinante es un menor principal.

Tomando ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\-1&1&-1\\2&0&5\end{bmatrix}}}$ La submatriz ${\displaystyle B}$ = ${\displaystyle A[\{1,2\}]}$ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\-1&1\\\end{bmatrix}}}$ es una submatriz principal y su determinante ${\displaystyle |A|=(1)(1)-(2)(-1)=3}$ es un menor principal.

• Si la submatriz es una submatriz principal superior, su determinante es un menor principal superior.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\-1&1&-1\\2&0&5\end{bmatrix}}}$En la misma matriz, las submatrices superiores son: ${\displaystyle A_{1}=A[{1}]={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$; ${\displaystyle A_{2}=A[{1,2}]={\begin{bmatrix}1&2\\-1&1\\\end{bmatrix}}}$; ${\displaystyle A_{3}=A[{1,2,3}]={\begin{bmatrix}1&2&3\\-1&1&-1\\2&0&5\end{bmatrix}}=A}$ Los determinantes de las submatrices |${\displaystyle A_{1}}$| = 1, |${\displaystyle A_{2}}$| = 3, |${\displaystyle A_{3}|}$ = 5 son los menores escalonados superiores.

• Si las submatriz es una submatriz principal inferior, su determinante es un menor principal inferior.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}5&4&3\\2&1&5\\2&0&5\end{bmatrix}}}$ Las submatrices escalonadas inferiores de A son: ${\displaystyle A_{1}=A[{1}]={\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}}$ ;${\displaystyle A_{2}=A[{1,2}]={\begin{bmatrix}1&5\\0&5\\\end{bmatrix}}}$ ;${\displaystyle A_{3}=A[{1,2,3}]={\begin{bmatrix}5&4&3\\2&1&5\\2&0&5\end{bmatrix}}=A}$ Los determinantes de las submatrices ${\displaystyle |A_{1}|=1}$ , ${\displaystyle |A_{2}|=5}$ , ${\displaystyle |A_{3}|=19}$ son los menores inferiores principales.^[2]​

• Determinante (matemática)
• Matriz de adjuntos
• Matriz traspuesta conjugada

• Weisstein, Eric W. «Minor». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.