Identidades de Green

En matemáticas, las identidades de Green son un conjunto de igualdades en cálculo vectorial. Nombradas así en honor del matemático George Green, el mismo que descubrió el teorema de Green.

Esta identidad se deriva del teorema de la divergencia aplicado a un campo vectorial ${\displaystyle \mathbf {F} =\psi \nabla \varphi }$.

Si ${\displaystyle \varphi }$ es una función continuamente diferenciable de clase C² y ${\displaystyle \psi }$ es otra función continuamente diferenciable, pero de clase C¹ en una región U, entonces:

${\displaystyle \int _{U}\psi \Delta \varphi \,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot n\right)\,dS-\int _{U}\left(\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)\,dV,}$

donde ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ es el operador Laplaciano.

Si ${\displaystyle \varphi }$ y ${\displaystyle \psi }$ son funciones continuamente diferenciables de clase C² las dos en U, entonces:

${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \Delta \varphi -\varphi \Delta \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)\,dS.}$

La tercera identidad de Green se obtiene a partir de la segunda particularizando la función ${\displaystyle \phi (y)}$ a:

${\displaystyle \varphi (y)={\frac {1}{|\mathbf {x} -y|}}}$

En este caso, el laplaciano de ${\displaystyle \phi (y)}$ es:

${\displaystyle \Delta \varphi (y)=-4\pi \delta \left(\mathbf {x} -y\right)}$

La tercera identidad de Green dice entonces que, si ${\displaystyle \psi }$ es una función continuamente diferenciable de clase C² en U, entonces:

${\displaystyle \oint _{\partial U}\left[{\frac {1}{|\mathbf {x} -y|}}{\frac {\partial }{\partial n}}\psi (\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial }{\partial n_{\mathbf {y} }}}{\frac {1}{|\mathbf {x} -y|}}\right]\,dS_{\mathbf {y} }-\int _{U}\left[{\frac {1}{|\mathbf {x} -y|}}\Delta \psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }=k.}$

Donde:

${\displaystyle k=4\pi \psi (x)}$ si ${\displaystyle x\in Int(U)}$,

${\displaystyle k=2\pi \psi (x)}$ si ${\displaystyle x\in \partial U}$ y tiene un plano tangente a ${\displaystyle x}$

${\displaystyle k=0}$ en el resto de casos.

• Función de Green