Analizo al precipaj konsisteroj

Konsideru ${\displaystyle p}$  hazardajn variablojn ${\displaystyle X_{j}}$ , kiuj estas centritaj rilate siaj atenditaj valoroj, t.e. pri kiuj iliaj atenditaj valoroj estas subtrahitaj de ĉiu el ili. Tiuj variabloj estas kunigitaj en unu ${\displaystyle (p\times 1)}$  hazarda vektoro ${\displaystyle {\underline {x}}}$ . Tiu kolumna vektoro, tiel difinita, havas nulan vektoron kiel atenditan mezvektoron, kaj la ${\displaystyle (p\times p)}$ matrico de varianco-kunvarianco ${\displaystyle {\underline {\Sigma }}}$  estas simetria kaj pozitive difinita. La ajgenaj valoroj ${\displaystyle \lambda _{j}}$ , ${\displaystyle j=1,\dots ,p}$ , de la matrico ${\displaystyle {\underline {\Sigma }}}$  estas ordigitaj laŭ siaj grandoj en diagonala matrico ${\displaystyle {\underline {\Lambda }}}$ . Iliaj respektivaj ajgenvektoroj faras la ortan matricon ${\displaystyle {\underline {\Gamma }}}$ , pri kiu:

${\displaystyle {\underline {\Lambda }}={\underline {\Gamma }}^{T}{\underline {\Sigma }}{\underline {\Gamma }}\ .}$ 

La hazarda vektoro  ${\displaystyle {\underline {x}}}$  estas lineare transformita tiel:

${\displaystyle {\underline {x}}\mapsto {\underline {y}}={\underline {\Gamma }}^{T}{\underline {x}}\ ({\underline {x}}={\underline {\Gamma }}{\underline {y}})\ ,}$ 

per kiu la precipaj konsisteroj estas kalkulataj. Oni vidas ĉi tie la limon de la metodo, kiu do koncernas nur linearajn kombinaĵojn pri multvarieblaj sistemoj. Kelkfoje, por kompensi tian malavantaĝon, la influoj de apartaj variabloj estas modifiataj per multipliko de taŭgaj koeficientoj.

Konsideru ni tridimensian hazardan vektoron:

${\displaystyle {\underline {x}}={\begin{pmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{pmatrix}}}$ .

La matrico de la ajgenoj de la matrico de varianco-kunvarianco ${\displaystyle {\underline {\Sigma }}}$  rilatante al ${\displaystyle {\underline {x}}}$  estas:

${\displaystyle {\underline {\Lambda }}={\begin{pmatrix}\lambda _{A}&0&0\\0&\lambda _{B}&0\\0&0&\lambda _{C}\end{pmatrix}},}$ 

kie ${\displaystyle \lambda _{A}>\lambda _{B}>\lambda _{C}}$  .

Eblas kunigi la ${\displaystyle (3\times 1)}$  kolumnajn vektorojn de ĉiu el le tri ajgenvektoroj ${\displaystyle {\underline {\gamma }}_{j}}$  en unu matricon ${\displaystyle {\underline {\Gamma }}}$ :

${\displaystyle {\underline {\Gamma }}={\begin{pmatrix}{\underline {\gamma }}_{A}&{\underline {\gamma }}_{B}&{\underline {\gamma }}_{C}\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle ={\begin{pmatrix}\gamma _{1A}&\gamma _{1B}&\gamma _{1C}\\\gamma _{2A}&\gamma _{2B}&\gamma _{2C}\\\gamma _{3A}&\gamma _{3B}&\gamma _{3C}\end{pmatrix}}}$ .

Per multipliko

${\displaystyle {\underline {x}}\rightarrow {\underline {y}}={\underline {\Gamma }}^{T}{\underline {x}}}$ 

sekvas la ekvacioj

${\displaystyle Y_{A}=\gamma _{1A}X_{1}+\gamma _{2A}X_{2}+\gamma _{3A}X_{3}}$ 

${\displaystyle Y_{B}=\gamma _{1B}X_{1}+\gamma _{2B}X_{2}+\gamma _{3B}X_{3}}$ 

${\displaystyle Y_{C}=\gamma _{1C}X_{1}+\gamma _{2C}X_{2}+\gamma _{3C}X_{3}}$ .

La varianco de ${\displaystyle Y_{A}}$  estas^[2]

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y_{A})=\lambda _{A}\ .}$ 

La precipa konsistero  ${\displaystyle Y_{A}}$  estas la pli granda elemento de la variancaro de la datenoj, ${\displaystyle Y_{B}}$  estas la dua komponanto, ktp. La koeficientoj  ${\displaystyle \gamma _{jk}}$ , ${\displaystyle j=1,2,3}$ ; ${\displaystyle k=A,B,C}$ , permesas kalkuli la efikojn de la variabloj  ${\displaystyle X_{j}}$  rilate al  ${\displaystyle k}$  komponanto. La matrico  ${\displaystyle {\underline {\Gamma }}}$  indikas "kun kioma pezo, la variablo  ${\displaystyle X}$  influas la komponanton  ${\displaystyle Y}$ ".

• Pri statistika modelo kun multegaj parametroj, per analizo al precipaj konsisteroj, la elekto de la hazardaj variabloj de la modelo reduktiĝas, kaj permesas trakti kaj klarigi sufiĉe bone la konsideratan problemon.

• Analizo de 11 sociekonomikaj indikiloj pri 96 landoj rivelas, ke la rezultoj priskribas landon kun alto grado, per nur 2 ĉefaj komponantoj, la unua estanta la tuta MEP de la lando, kaj la dua la indikilo pri la amplekso de ĝia kamparparto.

• Por aĉetcentralo, tia analizo permesas koni la preferojn de konsumantoj laŭ iliaj sociaj statusoj, iliaj aĝoj aŭ iliaj familiaj statusoj. Tial, eblas kanaligi la reklamoj, kaj la produktojn al la taŭgaj klientoj.

• Pri la traktado de bildoj, tia analizo estas uzata; aparte pri la distanca sondado, la bildoj de satelitoj estas analizataj, permesante observadon de iaj topografiaj evoluoj.

• Danke al analizo de vico de dinamikaj bildoj en nuklea medicino per scintigrafio, eblas detekti eventualan misfunkcion de koro aŭ de renoj.

• Alia uzo estas la artefarita intelekto, kune kun la neŭronaj retoj. Tie la analizo proponas referencoj kaj indikoj por klasifiko, aŭ rekonado de klasoj de specimenoj.

•  
  Variancoj de ĉefaj komponantoj
•  
  Korelacio
•  
  "Malkorelacio"

• http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/principal_components.pdf
• http://robotics.eecs.berkeley.edu/~rvidal/cvpr03-gpca-final.pdf
• http://www.reindeergraphics.com/foveapro/pca.shtml Arkivigite je 2007-03-18 per la retarkivo Wayback Machine
• http://pbil.univ-lyon1.fr/R/liens/pearson1901.pdf Arkivigite je 2007-10-01 per la retarkivo Wayback Machine