Alternado (geometrio)

En geometrio, alternado aŭ parta tranĉo estas operacio je hiperpluredro aŭ kahelaro kiu plene senpintigas alternajn verticojn. Nur tiuj pluredroj povas esti alternitaj ĉe kiuj ĉiuj edroj havas paran kvanton de verticoj, ekzemple la zonopluredroj. Ĉiu 2n-flankita edro iĝas n-flankitan. Kvarlateraj edroj iĝas novajn laterojn.

Alternado de regula pluredro aŭ kahelaro povas esti priskribita per etendita simbolo de Schläfli, kiu estas tiu de la regula formo kun prefikso "h". Ekzemple h{4,3} estas alternita kubo (kiu estas kvaredro), kaj h{4,4} estas alternita kvadrata kahelaro (denove kvadrata kahelaro).

Ĝenerale estas du manieroj de elekto de tio kiuj verticoj estas forprenitaj, kaj en iuj okazoj la rezultoj estas spegulaj bildoj de unu la alia, kaj ĉiu el ili estas nememspegulsimetria.

Riproĉigo estas rilatanta operacio. Ĝi estas alternado aplikita al la entutotranĉita hiperpluredro aŭ kahelaro. Entutotranĉita pluredro aŭ kahelaro ĉiam havas paran kvanton de verticoj ĉe ĉiuj edroj kaj tiel povas ĉiam esti alternita.

Ekzemple, la riproĉa kubo estas kreita en du ŝtupoj. Unue ĝi estas entutotranĉita kaj rezultiĝas la granda rombokub-okedro. Due ĝi estas alternita kaj rezultiĝas la riproĉa kubo.

Alia ekzemplo estas la uniformaj kontraŭprismoj. n-latera kontraŭprismo povas esti konstruita kiel alternado de 2n-latera prismo, aŭ per riproĉigo de n-latera duvertica pluredro. Ĉe prismoj ambaŭ alternitaj formoj estas identaj.

Ne-uniformaj zonopluredroj povas ankaŭ esti alternita. Ekzemple, la romba tridekedro povas esti riproĉigita en dudekedron aŭ dekduedron depende de tio kiuj verticoj estas forprenitaj.

La pluredroj estas donitaj kun iliaj figuroj de Coxeter-Dynkin. Ĉe la entutotranĉitaj formoj la ĉiuj speguloj estas aktivaj, do ĉiuj verticoj de la grafeo estas ringitaj. La alternado estas montrita per verticoj de la grafeo kiel ringoj kun truoj.

Familio (p q 2)	Regula	Entutotranĉita	Riproĉa
(3 3 2)	Kvaredro	Senpintigita okedro	Dudekedro
(4 3 2)	Kubo	Senpintigita kubokedro	Riproĉa kubo
(5 3 2)	Dekduedro	Granda rombo-dudek-dekduedro	Riproĉa dekduedro

Familio (p q 2)	Regula	Entutotranĉita	Riproĉi malafable
(4 4 2)	Kvadrata kahelaro (4.4.4.4)	Senpintigita kvadrata kahelaro (4.8.8)	Riproĉa kvadrata kahelaro (3.3.4.3.4)
(6 3 2)	Seslatera kahelaro (6.6.6)	Granda rombo-tri-seslatera kahelaro (3.4.6.4)	Riproĉa seslatera kahelaro 3.3.3.3.6

Alternaj tranĉoj povas esti aplikita al prismoj. Ekzemple kvadrata kontraŭprismo samtempe estas riproĉigita 4-latera duvertica pluredro kaj alternita oklatera prismo.

Fonta formo		Alternita formo
Nomo	Bildo	Nomo	Bildo
Kubo		Kvaredro
Seslatera prismo		Okedro
Oklatera prismo		Kvadrata kontraŭprismo
Deklatera prismo		Kvinlatera kontraŭprismo
...		...

Simila operacio povas senpintigi alternaj verticoj sed ne tute forpreni ilin. Pli sube estas aro de pluredroj kiuj povas esti generita de la dualaj de katalanaj solidoj. Ili havi du specojn de verticoj kiu povas esti alterne senpintigitaj. Senpintigo de verticoj de la "pli alta ordo" produktas ĉi tiujn formoj:

Fonta formo		Alterne senpintigita formo
Nomo	Bildo	Nomo	Bildo
Kubo (duala de rektigita kvaredro)		Alternita senpintigita kubo
Romba dekduedro (duala de kubokedro)		Senpintigita romba dekduedro
Romba tridekedro (duala de dudek-dekduedro)		Senpintigita romba tridekedro
Trilateropiramidigita kvaredro (duala de senpintigita kvaredro)		Senpintigita trilateropiramidigita kvaredro
Trilateropiramidigita okedro (duala de senpintigita kubo)		Senpintigita trilateropiramidigita okedro
Trilateropiramidigita dudekedro (duala de senpintigita dekduedro)		Senpintigita trilateropiramidigita dudekedro

Alterne edrotranĉita kuba kahelaro estas farita per alterna edrotranĉo. La operacio estas malproksime simila al operacioj de alternado kaj edrotranĉo.

Alterne edroverticotranĉita kuba kahelaro estas farita per alterna edroverticotranĉo. La operacio estas malproksime simila al operacioj de alternado kaj edroverticotranĉo.

La alternado povas esti aplikita al pli alte dimensiaj hiperpluredroj kaj kahelaroj, tamen ĝenerale plejparto de formoj ne povas esti misformigitaj por ke esti uniformaj. La malplenaĵoj kreitaj per la forigo de verticoj ĝenerale ne povas esti plenigita per uniformaj facetoj.

Ekzemploj:

• 3-kahelaroj
  • Alternita kuba kahelaro estas la kvaredra-okedra kahelaro.
  • Alternita seslatera prisma kahelaro estas la turnita alternita kuba kahelaro.
• Plurĉeloj
  • Alternita senpintigita 24-ĉelo estas nomata kiel la riproĉa 24-ĉelo (kvankam ĝi ne estas vere riproĉa laŭ la donita pli supre difino).
• Alternita n-hiperkubo estas uniforma la duonvertica n-hiperkubo.
  • Alternita Kubo estas la regula kvaredro
  • Alternita 4-hiperkubo estas la regula 16-ĉelo
  • Alternita 5-hiperkubo estas la duonregula duonvertica 5-hiperkubo
  • Alternita 6-hiperkubo estas la uniforma duonvertica 6-hiperkubo

Kubo	Kvaredro (alternita kubo)
4-hiperkubo	16-ĉelo (alternita 4-hiperkubo)

• Operacioj je hiperpluredroj kaj kahelaroj:
  • Tranĉo t_{0, 1}{p, ...}
  • Laterotranĉo t_{0, 2}{p, q, ...}
  • Lateroverticotranĉo t_{0, 1, 2}{p, q, ...}
  • Edrotranĉo t_{0, 3}{p, q, r, ...}
  • Edroverticotranĉo t_{0, 1, 3}{p, q, r, ...}
  • Edrolaterotranĉo t_{0, 2, 3}{p, q, r, ...}
  • Edrolateroverticotranĉo t_{0, 1, 2, 3}{p, q, r, ...}
  • Ĉelotranĉo t_{0, 4}{p, q, r, s, ...}
  • Entutotranĉo t_{0, 1, ..., n-1}{p₁, p₂, ..., p_n-1}
  • Rektigo t₁{p, ...}
  • Dutranĉo t_{1, 2}{p, q, ...}
  • Alternado
  • Riproĉigo
• Simbolo de Schläfli - etendita simbolo de Schläfli priskribas rezultojn de la operacioj faritaj je regulaj hiperpluredroj kaj regulaj kahelaroj

• H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes - Regulaj hiperpluredroj, 3-a. red., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (pp. 154–156 8.6 parta tranĉo, aŭ alternado)

• George Olshevsky, Alternado en Glossary for Hyperspace.