Einheitengruppe

Sei ${\displaystyle R}$  ein Ring mit 1. Die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente (Einheiten) von ${\displaystyle R}$  bildet mit der Ringmultiplikation eine Gruppe. Sie wird Einheitengruppe von ${\displaystyle R}$  genannt. Man schreibt die Einheitengruppe meist als ${\displaystyle R^{*}}$  oder als ${\displaystyle R^{\times }}$ . Die Definition lässt sich auf Monoide übertragen.

• Ein kommutativer Ring mit 1, dessen Einheitengruppe aus allen Elementen außer der Null besteht, ist bereits ein Körper.
• Ein kommutativer Ring mit 1 ist genau dann lokal, wenn das Komplement der Einheitengruppe ein Ideal ist.

Die Einheitengruppe ${\displaystyle K^{*}}$  (auch ${\displaystyle K^{\times }}$ ) ${\displaystyle :=\{x\in K\mid x\neq 0\}}$  eines Körpers ${\displaystyle K}$  heißt multiplikative Gruppe. Sie ist isomorph zur linearen algebraischen Gruppe

${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(K):=\left\{{\begin{pmatrix}x&0\\0&~x^{-1}\end{pmatrix}}\;{\Bigg |}\;x\in K^{*}\right\}\subseteq \mathrm {GL} _{2}(K)}$ ,

also Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe vom Grad 2.

Jede endliche multiplikative Untergruppe eines kommutativen Körpers ${\displaystyle K}$  ist zyklisch (s. Einheitswurzel).

• Die Einheitengruppe des Rings ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  der ganzen Zahlen besteht aus den beiden Elementen 1 und −1.
• Die Einheitengruppe des Rings ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  der rationalen Zahlen besteht aus allen rationalen Zahlen ungleich der Null, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  ist also ein Körper.
• Die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo 10 besteht aus den Elementen 1, 3, 7 und 9.
• Ist ${\displaystyle p}$  eine Primzahl, so gibt es in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$  genau ${\displaystyle p-1}$  Einheiten.
• Allgemein: Ist ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ , so gibt es in ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$  genau ${\displaystyle \varphi (m)}$  Einheiten. Dabei ist ${\displaystyle \varphi }$  die Euler-Funktion. ${\displaystyle \varphi (m)}$  ist die Anzahl der natürlichen Zahlen, die nicht größer als ${\displaystyle m}$  und teilerfremd zu ${\displaystyle m}$  sind.^[1]
• Die Einheitengruppe des Matrizenrings der ${\displaystyle n\times n}$ -Matrizen mit Koeffizienten in einem Körper ${\displaystyle K}$  heißt allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$ . ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$  und ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$  sind Lie-Gruppen.

• Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger. Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, ISBN 978-3-8348-1213-1.
• Armin Leutbecher: Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1996, ISBN 3-540-58791-8.

1. ↑ Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger. Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, Seite 113.