Hopf-Verschlingung

Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d. h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.

Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  durch ${\displaystyle (\cos t,\sin t,0)}$  und ${\displaystyle (\cos t+1,0,\sin t)}$  parametrisierten Kreise.

Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre ${\displaystyle S^{3}}$  ist homöomorph zu ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times \left(0,1\right)}$ . Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ , der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.

Das Jones-Polynom ist

${\displaystyle V(t)=-t-t^{-1}}$ ,

das HOMFLY-Polynom ist

${\displaystyle P(z,\alpha )=z^{-1}(\alpha ^{-1}-\alpha ^{-3})-z\alpha ^{-1}}$ ,

die Hopf-Verschlingung ist der ${\displaystyle (2,2)}$ -Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ .

Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung

${\displaystyle h\colon S^{3}\to S^{2}}$ 

und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.

Allgemein definierte er für Abbildungen ${\displaystyle f\colon S^{3}\to S^{2}}$  die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante ${\displaystyle H(f)\in \mathbb {Z} }$  als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von ${\displaystyle f}$  und er bewies, dass die Zuordnung

 

${\displaystyle f\to H(f)}$ 

einen Isomorphismus

${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})\to \mathbb {Z} }$ 

ergibt.

 

• Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet.
• Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
• Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.

• Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (PDF)
• Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380

 

Commons: Hopf links – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Hopf Link auf MathWorld
• Topology of a Twisted Torus Numberphile (Video)