Algebraische Gruppe

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper ${\displaystyle k}$ , d. h. eine algebraische Varietät ${\displaystyle G}$  über ${\displaystyle k}$  zusammen mit

• einem Morphismus ${\displaystyle m\colon G\times G\to G}$  (Multiplikation)
• einem Morphismus ${\displaystyle i\colon G\to G}$  (inverses Element)
• und einem ausgezeichneten Punkt ${\displaystyle e\in G(k)}$  (neutrales Element),

so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Assoziativgesetz: ${\displaystyle m\circ (m\times \mathrm {id} _{G})=m\circ (\mathrm {id} _{G}\times m)}$ ;
• neutrales Element: ${\displaystyle m\circ (\mathrm {id} _{G}\times e)=\mathrm {id} _{G}=m\circ (e\times \mathrm {id} _{G})}$ ;
• inverses Element: ${\displaystyle m\circ (i\times \mathrm {id} _{G})\circ \Delta _{G}=e\circ \xi =m\circ (\mathrm {id} _{G}\times i)\circ \Delta _{G}}$ ; dabei ist ${\displaystyle \Delta _{G}\colon G\to G\times G}$  die Inklusion der Diagonale (${\displaystyle g\mapsto (g,g)}$ ) und ${\displaystyle \xi \colon G\to \mathrm {Spec} (k)}$  der Strukturmorphismus.

Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass ${\displaystyle (m,i,e)}$  für jedes ${\displaystyle k}$ -Schema ${\displaystyle T}$  auf der Menge ${\displaystyle G(T)}$  der ${\displaystyle T}$ -wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

• Die additive Gruppe ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {a} }}$ : ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {a} }(T)=\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T})}$  mit der Addition als Gruppenstruktur. Insbesondere für ${\displaystyle T=k}$  ist ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {a} }(k)=(k,+)}$  die affine Gerade ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}(k)}$  mit der Addition.
• Die multiplikative Gruppe ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {m} }}$ : ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {m} }(T)=\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T}^{\times })}$  mit der Multiplikation als Gruppenstruktur. Insbesondere für ${\displaystyle T=k}$  ist ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {m} }(k)=(k^{\times },\cdot )}$  die offene Teilmenge ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}(k)\setminus \left\{0\right\}}$  mit der Multiplikation.
• Die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$ : ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(T)=\mathrm {GL} _{n}(\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T}))}$ ; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren ${\displaystyle n\times n}$ -Matrizen mit Einträgen im Ring ${\displaystyle \Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T})}$ . ${\displaystyle \mathrm {GL} _{1}}$  kann mit ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {m} }}$  identifiziert werden.
• Der Kern eines Morphismus ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$  algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe. Zum Beispiel ist ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(T)=\mathrm {ker} (\mathrm {det} :\mathrm {GL} _{n}\to \mathbb {G} _{\mathrm {m} })}$  eine algebraische Gruppe.
• Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
• Zariski-abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen. Zariski-abgeschlossene Untergruppen von ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$  werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet. Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietät ist, dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe.
• Unipotente algebraische Gruppen.

Jede algebraische Gruppe über einem perfekten Körper ist auf eindeutige Weise eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine lineare algebraische Gruppe.^[1] Das heißt, zu jeder algebraischen Gruppe ${\displaystyle G}$  gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe ${\displaystyle G_{\mathrm {aff} }}$ , diese ist normal und der Quotient ${\displaystyle A(G):=G/G_{\mathrm {aff} }}$  ist eine abelsche Varietät:

${\displaystyle 0\rightarrow G_{\mathrm {aff} }\rightarrow G\rightarrow A(G)\rightarrow 0}$ .

Die Abbildung ${\displaystyle G\rightarrow A(G)}$  ist die Albanese-Abbildung.

1. ↑ Conrad: Satz von Chevalley (PDF-Datei; 233 kB)

• James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 3-540-90108-6.
• Armand Borel: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Springer, New York 1991, ISBN 3-540-97370-2.
• Tonny A. Springer: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Birkhäuser, Boston 1998, ISBN 3-7643-4021-5.
• Ina Kersten: Lineare algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, (PDF; 1,4 MB).

• Algebraic Groups von James S. Milne