Diskussion:Dreieckszahl

Unter "Eigenschaften, Punkt 4:"ungerade Quadratzahl" ist falsch, Quadrat einer ungeraden Zahl wäre richtig.-

Gilt das für alle geradzaligen Zifferwiederholungen der 1? Gibt es einen Beweis oder eine augenscheinliche Erklärung dafür? --Mikue 11:50, 27. Feb 2004 (CET)

Schon (halb) selbst gefunden: Dividiere ich 1111...12 mit n Ziffern durch 2, so erhalte ich 555...56 mit (n-1) Ziffern. Mit 11 multipliziert ergibt das 6111...16 mit n Ziffern, eine palindromische Zahl. Eine Multiplikation mit 1111...11 kann bei geradem gedacht werden als Summe von (n/2), jeweils um zwei Stellen versetzter solcher Zahlen. Da dabei niemals zwei 6en an der selben Zehnerstelle zu stehen kommen, bleibt das Ergebnis palindromisch zumindest solange, wie es nicht mehr als vier Summanden gibt (und dann?). Ist n ungerade, bleibt am Ende ein nicht palindromischer Summand 555...56 mit (n-1) Ziffern übrig. --Mikue 12:03, 27. Feb 2004 (CET)

--Helmut Rasinger 00:52, 26. Okt. 2006 (CEST)Beantworten

• Jede gerade vollkommene Zahl ist auch eine Dreieckszahl:

Nach Leonhard Euler lässt sich eine gerade vollkommene Zahl durch die Formel ${\displaystyle (2^{n}-1)\cdot 2^{n-1}}$ darstellen, wobei ${\displaystyle 2^{n}-1\ }$ eine Primzahl sein muss. Wenn man die Formel ${\displaystyle (2^{n}-1)\cdot 2^{n-1}}$ mit 2 multiplikativ erweitert, und ${\displaystyle 2^{n}\ }$ durch ${\displaystyle m\ }$ substituiert, kommt man auf die Formel, die Dreieckszahlen repräsentiert:

${\displaystyle (2^{n}-1)\cdot 2^{n-1}={\frac {(2^{n}-1)\cdot 2^{n-1}\cdot 2}{2}}={\frac {(2^{n}-1)\cdot 2^{n}}{2}}\Rightarrow {\frac {(m-1)\cdot m}{2}}}$

--Helmut Rasinger 12:48, 26. Okt. 2006 (CEST)Beantworten

Nun da die Qualität dieses Abschnitts den Ansprüchen P.Birken alias Squizz genügt, werde ich selbst die unnötig komplizierte Darstellung vereinfachen. --Helmut Rasinger 15:00, 27. Okt. 2006 (CEST)Beantworten

Ich habe bei den alternierenden Quadratzahlen ein Problem:

Wenn man das angeführte Beispiel: (-1) + 4 + (-9) + 16 = 10 auf die dritte bzw. die fünfte oder jede andere Dreieckszahlen mit ungeradem Index anwendet, so bekommt man negative Zahlen:

• (-1) + 4 + (-9) = (-6)

• (-1) + 4 + (-9) + 16 + (-25) = (-15)

Es wäre also richtiger zu schreiben, das der Betrag der Summe der alternierenden Quadratzahlen den Dreieckszahlen entspricht. Andererseits,wenn man die Formel anpaßt, und bei geraden Dreieckszahlen mit geradem Index mit (-1) beginnt:

• (-1) + 4 = 3

• (-1) + 4 + (-9) + 16 = 10

• (-1) + 4 + (-9) + 16 + (-25) + 36 = 21

Und bei Dreieckszahlen mit ungeradem Index mit 1 beginnt:

• 1 = 1

• 1 + (-4) + 9 = 6

• 1 + (-4) + 9 + (-16) + 25 = 15

So wäre das Problem auch beseitigt (Zumindest für positive Dreieckszahlen). --Arbol01 17:50, 10. Mai 2008 (CEST)Beantworten

Die Formel ist richtig. Man muss allerdings den Exponenten ${\displaystyle n+i}$ von -1 beachten. Aufgrund dieses Exponenten ist das erste Glied der Summe (${\displaystyle i=1}$) bei geradem ${\displaystyle n}$ gleich -1 und bei ungeradem ${\displaystyle n}$ gleich 1. --Stefan Birkner 22:37, 27. Jun. 2008 (CEST)Beantworten

- wie heißen noch mal die " pyramiden zahlen " "=n*(n+1)*(n+2)/6" richtig - sind sie in dem articke ewähnt

Tetraederzahlen. Siehe Abschnitt Verallgemeinerungen. --Stefan Birkner 16:45, 14. Jul. 2008 (CEST)Beantworten

Wie heißt die Umkehrung? Also wenn nicht nach Δ n {\displaystyle \Delta _{n}} \Delta _{n} aufgeöst ist sondern nach n??

Du wirst die Dreieckszahl kennen und möchtest herausfinden, welches die höchste Zahl ist, mit der diese Dreieckszahl gebildet wird.

Z.B.: Δ n = 55.

Setze nun die Zahl 55 in die Gleichung statt Δ n ein und vereinfache die Gleichung.

Löse die quadratische Gleichung auf und du erhälts n. Lösung: n = 10

lg Germetz

Die Behauptung, bei einer quadratischen Dreieckszahl ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$ sei immer ${\displaystyle n+1}$ eine ungerade Quadratzahl und ${\displaystyle n}$ das Doppelte einer geraden Quadratzahl, ist falsch, wie schon die Beispiele ${\displaystyle 1={\frac {1\cdot 2}{2}}}$ und ${\displaystyle 1225={\frac {49\cdot 50}{2}}}$ zeigen. Bei jeder zweiten quadratischen Dreieckszahl ist es nämlich umgekehrt: ${\displaystyle n}$ ist eine ungerade Quadratzahl und ${\displaystyle n+1}$ das Doppelte einer geraden Quadratzahl. -- Benedikt. 91.50.84.86 16:56, 23. Okt. 2009 (CEST)Beantworten

Liebe IP, hier ist der erste Wert 1 und die Summe aller weiteren Werte nähert sich ebenfalls 1, hier ist das Ergebnis also ZWEI.
Bei deiner Version wäre der erste Wert 1/2 und die Summe aller weiteren Werte hähert sich ebenfalls 1/2, das Ergebnis also EINS und nicht zwei.
Deine Behauptung, dass "mehr als zwei herauskommt" ist unrichtig. Bitte kläre das erst einmal ab und benütze die Artikeldiskussion oder WP:AU. Liebe Grüße   Gerhardvalentin 16:19, 27. Okt. 2009 (CET)Beantworten

Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen geht meiner Ansicht nach gegen 1. Ist dies bekannt und wäre das für den Artikel relevant? (Oder steht es schon irgendwo und ich bin blind?) --W. Kronf *@* 15:01, 10. Mai 2011 (CEST)Beantworten

Einfach die Formel einsetzen: (n(n+1)/2) / ((n+1)(n+2)/2) = n/(n+2) → 1 für n → ∞. --91.32.85.106 23:44, 10. Mai 2011 (CEST)Beantworten

Ich denke, dass mein Bild "Dreieckzahlen", das von Kronf wieder gelöscht wurde, den Begriff schon noch sehr viel deutlicher erklären würde, auch wenn er "bereits visuell und im Text erklärt" ist. Eine Bild sagt mehr als Worte und die bisher vorhandene visuelle Erklärung bezieht sich nur auf eine einzige dieser Zahlen.

Was denken andere darüber? Wolfgang Gutenbrunner (Diskussion) 17:29, 2. Sep. 2012 (CEST)Beantworten

Ich hätte einen Vorschlag, um den Abschnitt Zahlenpalindrome unter den Dreieckszahlen zu erweitern. Ich weiß nicht, ob das vielleicht zu viel ist, aber man könnte auch eine gekürzte Version benutzen:

... Unter diesen sind die 11-te, die 1.111-te, die 111.111-te und die 11.111.111-te Dreieckszahl, nämlich 66, 617.716, 6.172.882.716 und 61.728.399.382.716. Für die 1.111-te und die 111.111-te Dreieckszahl hat dies Charles Trigg herausgefunden.

Dass ab der 1.111.111.111-ten Dreieckszahl keine Palindrome dieser Art mehr erscheinen, liegt daran, dass die Ziffern, die in der Mitte der Palindrome dazukommen, immer größer werden und irgendwann ein Übertrag entsteht, der andere Ziffern beeinflusst.

Da dieser Übertrag entsteht, weil es im Dezimalsystem keine einzelne Ziffer für 10 und größere Zahlen gibt, kann man größere palindromische Dreieckszahlen erzeugen, indem man die Basis des Stellenwertsystems erhöht und die Dreieckszahlen z.B. im Hexadezimalsystem, also zur Basis 16, ausdrückt.

Die ${\displaystyle 11_{16}}$-te Dreieckszahl im Hexadezimalsystem ist ${\displaystyle 99_{16}}$, die ${\displaystyle 1111_{16}}$-te ist ${\displaystyle 91.AA19_{16}}$ und auch die 26-stellige ${\displaystyle 11.1111.1111.1111_{16}}$-te Zahl, ${\displaystyle 91.A2B3.C4D5.E6FF.6E5D.4C3B.2A19_{16}}$, ist noch ein Palindrom.

Mit diesem Verfahren kann man also eine Folge der Länge ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ aus mehrstelligen palindromischen Dreieckszahlen erzeugen, indem man die ${\displaystyle 11_{2n+2}}$-te, ${\displaystyle 1111_{2n+2}}$-te, ${\displaystyle 111111_{2n+2}}$-te usw. Dreieckszahl im Stellenwertsystem zur Basis ${\displaystyle 2n}$ darstellt. --130.180.67.182 20:19, 27. Okt. 2017 (CEST)Beantworten

Was bedeutet, "die Summe zweier Dreieckzahlen ist nicht kongruent 5 mod 9" – die letzte Endziffer beim Addieren ist nie 5, und wenn ja, wer sagt das ? --2.247.253.30 04:55, 6. Mär. 2018 (CET)Beantworten

Leider wurde meine Bearbeitung zu den Dreieckszahlen 435 (US-Abgeordnetenhaus) und 42.195 (Marathonlauf) rückgängig gemacht. Weitere Beispiele wären z. B. 153 (Fische des Jesus) und 630 (Aufzugsbranche). --92.216.164.225 13:21, 24. Okt. 2018 (CEST)Beantworten

Kann mir - einem Nichtmathematiker - bitte jemand helfen?
Ich lese:
"Das Achtfache einer Dreieckszahl addiert mit 1 ergibt immer eine ungerade Quadratzahl: 8 ⋅ Δ n + 1 = (2 n + 1)²".
Nehme ich die Dreieckszahl 3, ergibt das:
8 ⋅ 3 + 1 = (2 ⋅ 3 + 1)²
25 = 49

oder Dreieckszahl 10:
8 ⋅ 10 + 1 = (2 ⋅ 10 + 1)²
81 = 441

Wo liegt mein Denkfehler?
Danke schon mal
Alf

Achtung!

die 3. Dreieckszahl, die aus den ersten 3 Ganzen Zahlen gebildet wird,

lautet: (Δ3 = 1+2+3 = 6), daraus folgt:

8 ⋅ 6 + 1 = (2 ⋅ 3 + 1)²

49 = 49

und die 10. Dreieckszahl lautet:

(Δ10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55), daraus folgt:

8 ⋅ 55 + 1 = (2 ⋅ 10 + 1)²

441 = 441

lg Germetz (nicht signierter Beitrag von Germetz Hardstein (Diskussion | Beiträge) 17:59, 22. Feb. 2020 (CET))Beantworten

Ich habe während meiner Schul- und Studienzeit zweitweise mit Zahlenfolgen wie den Dreieckzahlen herumgespielt ohne direkten Bezug zu meinem akademischen Werdegang. Dabei habe ich z.B. herausgefunden, dass die Summe der n-ten Dreieckszahlen durch die n-ten Fakultäten im Grenzfall 3/2 e (oder eine extrem nah an 3/2 e liegende Zahl) ergibt. Also

Summe(n=1, ∞) [((n²+n)/2)/n!] ≈ 3e/2

(ob ich bei 1 angefangen habe weiß ich nicht mehr sicher). Dieses Ergebnis an sich ist Theoriefindung und deshalb nicht wikipedia-tauglich. Außer ein Mathematiker hat das zuvor schon einmal formal bewiesen... Weiß da jemand was?

Außerdem kann man die Dreieckszahlen ähnlich wie die Fakultät so verallgemeinern, dass man beim Addieren bestimmte Zahlen überspringt. Z.B. kann man nur die Primzahlen addieren (analog zum Primorial) oder nur die geraden oder ungeraden Zahlen (analog zur Doppelfakultät) oder alle durch eine ganze Zahl k teilbaren Zahlen (analog zur Multifakultät). Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob dabei irgendetwas herauskommt was eine besondere Bedeutung hat, oder ob das nur mathematische Spielereien sind. --130.83.182.66 18:36, 29. Jun. 2020 (CEST)Beantworten

Ob man bei ${\displaystyle n=0}$ oder ${\displaystyle n=1}$ zu summieren beginnt, ist wegen ${\displaystyle \Delta _{0}=0}$ egal. Und wegen des allgemein bekannten

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}}$

stimmt das von Dir Behauptete:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Delta _{n}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n{\frac {n+1}{2}}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\frac {n+1}{2}}{(n-1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\frac {n+2}{2}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\frac {n}{2}}+1}{n!}}={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2}}e+e={\frac {3}{2}}e}$

Es ist aber sicherlich nicht besonders relevant für diesen Artikel. Wolny1 (Diskussion) 09:29, 30. Jun. 2020 (CEST)Beantworten

Was ist die Bedeutung des Satzes: Diese Formel ist identisch mit dem Binomialkoeffizienten.? Madyno (Diskussion) 12:17, 11. Aug. 2020 (CEST)Beantworten

Habs verbessert, danke für den Hinweis! Gruß, Wolny1 (Diskussion) 13:01, 11. Aug. 2020 (CEST)Beantworten

Man kann eine beliebige DZ1 als "Startwert" nehmen und daraus die DZ2 als Summe 1->DZ1 berechnen, allgemein DZ_i = Summe 1->DZ_(i-1). Haben solche Folgen {{DZ_i}} irgendeine Bedeutung? --77.0.45.26 22:17, 15. Aug. 2023 (CEST)Beantworten

Es folgen bei den DZ jeweils immer zwei ungerade und zwei gerade aufeinander. Das liegt offenbar daran, daß in der Folge {{n*(n+1)}} die beiden Faktoren jeweils kongruent i und kongruent i+1 mod 4 sind. Für i=0 ist der Faktor durch 4 teilbar, in den anderen Fällen nicht. Damit ist die Folge {n*(n+1), (n+1)*(n+2), (n+2)*(n+3), (n+3)*(n+4), (n+4)*(n+5), ...} auch darstellbar als {(4k-1)*(4k), (4k)*(4k+1), (4k+1)*(4k+2), (4k+2)*(4k+3), (4k+3)*(4k+4), ...}. Die Faktoren der Form 4k+4i, i={0, 1, 2, ...}, sind bei Division durch 2 gerade, die anderen nicht bzw. nicht durch 2 teilbar. Seien die durch 4 teilbaren Faktoren mit o und die anderen, je nachdem, ob sie gerade oder ungerade sind, mit g und u bezeichnet, dann wiederholen sich zyklisch Produkte der Form u*o, o*u, u*g, g*u. Die ersten beiden ergeben gerade und die letzten beiden ungerade DZ. --2.241.79.188 14:27, 15. Jun. 2024 (CEST)Beantworten

Unter Eigenschaften steht:

• ${\displaystyle \Delta _{n}\equiv \{1,n/2+2\}\mod {n+2}}$, wenn ${\displaystyle n=\{ungerade,gerade\}}$.

Was soll hierbei ${\displaystyle n=\{ungerade,gerade\}}$ bedeuten? Ich lese das so: Wenn n eine gerade oder ungerade Zahl ist. Dann ist aber n einfach eine natürliche Zahl. Oder lese ich das einfach falsch? Wenn ja, wie ist es zu lesen? --Mathze (Diskussion) 19:40, 7. Okt. 2024 (CEST)Beantworten