Mersenne-primtal

Mersenne-primtal er primtal på formen 2ⁿ-1. Dvs. alle de primtal der kan skrives som en potens af 2 minus 1. De er opkaldt efter den franske munk Marin Mersenne (1588–1648), som undersøgte disse tal, herunder specielt hvorvidt de var primtal. En nødvendig (men ikke tilstrækkelig) betingelse for, at 2ⁿ-1 er primtal, er, at n selv er et primtal, idet hvis p er en ægte divisor i n, så er 2^p-1 en ægte divisor i 2ⁿ-1.

Der findes forholdsvis simple metoder til at beregne, om et mersennetal er et primtal. Lucas–Lehmer-testen kan bevise, at mersennetallet er primisk ved hjælp af kun n operationer. Dette betyder, at verdens største kendte primtal som regel er mersenneprimtal.

Marin Mersenne påstod, at mersennetallene var primiske for n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 og 257 og sammensatte for øvrige værdier af n. Senere undersøgelser har vist, at n = 67 og 257 ikke giver primtal, og at n = 61, 87 og 107 giver mersenneprimtal.

Der formodes at være uendeligt mange mersenneprimtal, men dette er ikke bevist.

Fra et mersenneprimtal kan man konstruere et fuldkomment tal (Euklid), og alle lige fuldkomne tal fremkommer på denne måde (Euler).

GIMPS er en gruppe på Internettet, som bruger deres ledige computertid til at finde nye og større mersenneprimtal. I oktober 2024 kendtes der i alt 52 mersenneprimtal hvoraf GIMPS havde fundet de 18 største:

^*Det er endnu ikke bevist at der ikke eksisterer andre mersenneprimtal mellem det 48. og 52. mersenneprimtal. Nummereringen er derfor kun foreløbig.