Dedekindův řez

Dedekindův řez je každá dolní množina v lineárně uspořádané množině, která obsahuje své supremum, pokud toto supremum existuje.

V rámci teorie množin jsou všechny číselné obory konstruovány jako množiny – každé číslo je množina. Tyto množiny je třeba volit tak, aby jejich vzájemné vztahy odpovídaly intuitivním představám o daném číselném oboru.

Například přirozená čísla jsou v teorii množin konečná ordinální čísla uspořádaná relací "být podmnožina" ${\displaystyle \subseteq \,\!}$  .

Racionální čísla jsou konstruována jako uspořádané dvojice celých čísel s uspořádáním, které přesně odpovídá naší představě o tom, které racionální číslo je větší a které menší.

Reálná čísla je třeba zkonstruovat tak, aby beze zbytku vyplňovala číselnou osu – to znamená, aby každá neprázdná omezená množina měla v tomto číselném oboru supremum a infimum.

Dá se ukázat (vyplývá to například z poněkud obecněji pojaté MacNeilleovy věty), že množina všech Dedekindových řezů na množině racionálních čísel přesně odpovídá těmto požadavkům – lze ji použít jako izomorfní kopii číselného oboru reálných čísel.

Dedekindův řez je pro lineárně uspořádanou množinu (tedy i pro racionální čísla uspořádaná podle velikosti) pojem ekvivalentní s pojmem stabilní množina.

Množina ${\displaystyle S_{A}\,\!}$  všech stabilních podmnožin nějaké množiny ${\displaystyle A\,\!}$  je úplný svaz. To znamená, že je uzavřen na suprema a infima – je to tedy vhodný kandidát na „zúplnění“ o suprema a infima, které je třeba provést. Navíc, pokud je ${\displaystyle A\,\!}$  lineárně uspořádaná, pak je také ${\displaystyle S_{A}\,\!}$  lineárně uspořádaná (relací ${\displaystyle \subseteq \,\!}$  ).

Definujeme-li zobrazení ${\displaystyle f:A\implies S_{A}\,\!}$  předpisem ${\displaystyle f(x)=\{y\in A:y\leq x\}\,\!}$ , dostáváme izomorfní vnoření ${\displaystyle A\,\!}$  do ${\displaystyle S_{A}\,\!}$ . Toto vnoření zachová suprema a infima, pokud existovala již v ${\displaystyle A\,\!}$ . Pokud v ${\displaystyle A\,\!}$  neexistovala, pak v ${\displaystyle S_{A}\,\!}$  již (pro izomorfní obraz) existují.

Speciálně pro racionální čísla ${\displaystyle Q\,\!}$  je ${\displaystyle S_{Q}\,\!}$  izomorfní s naší intuitivní představou o vlastnostech reálných čísel.

Množina ${\displaystyle A_{1}=\{x\in Q:x<1\}\,\!}$  má supremum v ${\displaystyle Q\,\!}$  - platí ${\displaystyle supA_{1}=1\,\!}$ . Tato množina se pomocí výše uvedeného zobrazení převede na množinu ${\displaystyle S_{1}=\{f(x)\in S_{Q}:f(x)<f(1)\}=\{(-\infty ,x]:x<1\}\,\!}$  a její supremum je ${\displaystyle (-\infty ,1]=f(1)\,\!}$ . Supremum tedy zůstalo zachováno i při tomto zobrazení.

Množina ${\displaystyle A_{2}=\{x\in Q:x^{2}<2\}\,\!}$  nemá v ${\displaystyle Q\,\!}$  supremum, ale pomocí výše uvedeného zobrazení jej v ${\displaystyle S_{Q}\,\!}$  získá: ${\displaystyle S_{2}=\{f(x)\in S_{Q}:f(x^{2})<f(2)\}\,\!}$  má supremum ${\displaystyle supS_{2}=(-\infty ,{\sqrt {2}}]\,\!}$ , které není obrazem žádného prvku z ${\displaystyle Q\,\!}$  .

Jednoduše řečeno je Dedekindův řez zákonitost, která říká, že když „řízneme“ do číselné osy v náhodném místě, získáme nějaké číslo, které se v tom místě nachází. Neplatí tedy u všech číselných oborů.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Joseph Bertrand na anglické Wikipedii.

• Stabilní množina
• Reálné číslo
• Úplný svaz

• Dedekindův řez v encyklopedii MathWorld (anglicky)