Àlgebra lineal

Els primers elements del que avui coneixem com àlgebra lineal s'han trobat en el document matemàtic més antic que ha arribat fins avui en dia: el Papir de Rhind, conservat al Museu Britànic (amb alguns fragments al Brooklyn Museum), i conegut també com el Llibre de Càlcul, el qual va ser escrit pel sacerdot egipci Ahmés cap a l'any 1650 aC. En aquest valuós document es consideren les equacions de primer grau, on la incògnita apareix representada per un ibis que significa furgant a terra, possiblement per la seva primogènita aplicació a l'agrimensura.^[5]

També es troben antecedents estructurals en l'àlgebra babilònica, com ara en l'execució de la divisió com a multiplicació d'un nombre per l'invers del divisor.^[6] Els matemàtics grecs, per la seva banda, no es van ocupar pels problemes lineals, tot i que la solució general de l'equació de segon grau apareix en el tractat Els Elements d'Euclides.^[5]

Els matemàtics xinesos durant els segles iii i iv aC. varen continuar la tradició dels babilonis i ens van llegar els primers mètodes del pensament lineal. En l'obra Els nou capítols de les arts matemàtiques (九章算术) de Chuan Tsanom, composta l'any 152 aC. (durant la Dinastia Han), s'inclouen sistemàticament tots els coneixements matemàtics de l'època. En aquest tractat apareix el següent sistema lineal:^[5]

${\displaystyle 3x+2y+z=39}$ 

${\displaystyle 2x+3y+z=34}$ 

${\displaystyle x+2y+3z=36}$ 

Així com un mètode per a la seva resolució, conegut com la regla de "fan-chen", la qual en essència, és el conegut mètode d'eliminació gaussiana dels nostres dies.^[5]

Després vindrien les aportacions dels matemàtics islàmics i europeus, els qui van seguir conreant el pensament lineal. Per exemple, Leonardo de Pisa (1170 - 1250), més conegut com a Fibonacci, en la seva obra Liber Quadratorum publicada en 1225, va estudiar el sistema no lineal (el qual és una generalització d'un problema que li havia proposat Giovanni da Palermo).^[5]

Esdeveniments crucials en el desenvolupament de l'àlgebra lineal són: la descoberta del sistema dels nombres complexos, com una extensió del sistema R i la primera prova de l'anomenat teorema fonamental de l'àlgebra, el qual afirma que cada polinomi no constant amb coeficients complexos té almenys una arrel complexa. El precursor dels nombres complexos va ser el doctor en medicina, astròleg, filòsof i matemàtic milanès Girolamo Cardano (1501 - 1576).^[5][7]

Fins al segle xviii l'àlgebra era, essencialment, l'art de resoldre equacions de grau arbitrari. El matemàtic i filòsof francès, i un dels iniciadors de l'Enciclopèdia, D'Alembert descobreix que les solucions d'un sistema Ax = b formen una varietat lineal. Així mateix, Euler, Lagrange i el mateix D'Alembert s'adonen que la solució general del sistema homogeni Ax = 0 és una combinació lineal d'algunes solucions particulars.^[5]

La història de l'àlgebra lineal moderna data de principis de la dècada de 1840. El 1843 William Rowan Hamilton (l'introductor del terme vector) creà els quaternions que descriuen la mecànica en tres dimensions i el 1844, Hermann Grassmann va publicar el llibre Die lineale Ausdehnungslehre. El 1857 Arthur Cayley va introduir les matrius, una de les idees algebraiques més fonamentals.^[8]

Les nocions de vector i d'espai vectorial, de Hamilton, Cayley i Grassmann, apareixen com una axiomatització de la idea de "vector" manejada pels estudiosos de la Mecànica des fins del segle xvii. A més Grassmann, considerat el mestre de l'àlgebra lineal, introdueix el producte geomètric i lineal, sent el primer d'aquests l'equivalent al nostre producte vectorial. També introdueix les nocions d'independència lineal d'un conjunt de vectors, així com de la dimensió d'un espai vectorial, i prova la clàssica identitat.^[5]

A pesar d'aquestes idees l'àlgebra lineal no fou desenvolupada fins a principis del segle xx.^[9]

 

Per il·lustrar els conceptes bàsics estudiats en l'àlgebra lineal sol prendre com a exemple l'espai vectorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  (conegut també com a espai vectorial real de dimensió n, és a dir, un espai format per vectors de n components) per ser el més simple i alhora el més usat en aplicacions d'ús. Els objectes bàsics d'estudi són les n-tuples ordenades de nombres reals ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$  que s'anomenen vectors i el conjunt de tots els vectors amb n elements forma un espai vectorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

De manera més formal, l'àlgebra lineal estudia conjunts denominats espais vectorials, els quals consten d'un conjunt de vectors i un conjunt d'escalars (que té estructura de camp, amb una operació de suma de vectors i una altra de producte entre escalars i vectors que satisfan certes propietats (per exemple, que la suma és commutativa). (mètodes quantitatius).

Estudia també transformacions lineals, que són funcions entre espais vectorials que satisfan les dues condicions de linealitat:

• la suma de vectors ${\displaystyle T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )}$ , i
• el producte per escalar ${\displaystyle T(r\cdot \mathbf {u} )=r\cdot T(\mathbf {u} )}$ .

A diferència de l'exemple desenvolupat en la secció anterior, els vectors no necessàriament són n-ades d'escalars, sinó que poden ser elements d'un conjunt qualsevol (de fet, a partir de tot conjunt pot construir un espai vectorial sobre un camp fix).

Finalment, l'àlgebra lineal estudia també les propietats que apareixen quan s'imposa estructura addicional sobre els espais vectorials, sent una de les més freqüents l'existència d'un producte intern (una mena de producte entre dos vectors) que permet introduir nocions com a longitud de vectors i angle entre un parell d'aquests ...

Així, per exemple, el vector (4.5, 7/11, -8) és un vector de l'espai ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  i (6, -1, 0, 2, 4) és un element de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$ . En particular, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$  correspon a un pla cartesià XY i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  és l'espai euclidià proveït d'un sistema de coordenades XYZ.

Les operacions bàsiques entre els vectors (pel que fa a l'àlgebra lineal) són dues:

El producte per un escalar en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  segueix la regla:

${\displaystyle r\cdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(rx_{1},rx_{2},\ldots ,rx_{n}).}$ 

La interpretació gràfica del producte per escalar és una contracció o dilatació del vector (depenent de la magnitud de l'escalar, és a dir, si ${\displaystyle r}$  és major o menor d'1), juntament amb una possible inversió del seu sentit (si el signe és negatiu, és a dir, si ${\displaystyle r}$  és major o menor de 0).

Les funcions ${\displaystyle T}$  d'interès per a l'àlgebra lineal, entre els espais vectorials descrits, són les que satisfan les dues condicions següents amb les operacions bàsiques per tot parell de vectors ${\displaystyle \mathbf {u,v} }$  i tot escalar ${\displaystyle r}$ :

${\displaystyle T(\mathbf {u+v} )=T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} ),\qquad T(r\cdot \mathbf {u} )=r\cdot T(\mathbf {u} ).}$ 

Les funcions que compleixen les condicions anteriors es denominen transformacions lineals i en l'exemple que estem utilitzant corresponen a vectors de nombres reals, però es pot estendre a matrius de l'espai ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}$  que són les matrius de nombres reals de mida ${\displaystyle n\times m}$ .

L'àlgebra lineal estudia llavors les diferents propietats que tenen aquests conceptes i les relacions entre aquests. Per exemple, estudia quan una "equació" de la forma ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {v} }$  (on u, v són vectors i A és una matriu) té solució, problema que és equivalent a determinar si un sistema d'equacions lineals té solució o no.

Les estructures principals de l'àlgebra lineal són espais vectorials. Un espai vectorial sobre un cos F és un conjunt V, juntament amb dues operacions binàries. Els elements de V s'anomenen vectors i els elements de F s'anomenen escalars. La primera operació, addició de vectors, dos vectors v i w i el resultat és el tercer vector v +w. La segona operació té qualsevol escalar a i tots els vectors v i el resultat és un nou vector av. En vista del primer exemple, on es realitza la multiplicació per reescalar el vector v per un escalar a, la multiplicació es diu multiplicació escalar de v per a. Les operacions de suma i multiplicació en un espai vectorial han de complir els següents axiomes^[10] A la llista a continuació, u, v i w són vectors arbitraris en V i a i b escalars a F.

Axioma	Significat
Propietat associativa d'addició	${\displaystyle \mathbf {u} +(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )+\mathbf {w} }$
Commutativitat d'addició	${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} =\mathbf {v} +\mathbf {u} }$
Element neutre d'addició	Hi ha un element ${\displaystyle \mathbf {0} \in V}$ , anomenat Vector nul, de manera que ${\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {0} =\mathbf {v} }$  "per a tots ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ".
Element invers d'addició	Per cada ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ , hi ha un element ${\displaystyle -\mathbf {v} \in V}$ , anomenat invers additiu de ${\displaystyle \mathbf {v} }$ , de manera que ${\displaystyle \mathbf {v} +(-\mathbf {v} )=\mathbf {0} }$
Distributiva de multiplicació escalar respecte a la suma de vectors	${\displaystyle a\cdot (\mathbf {u} +\mathbf {v} )=a\mathbf {u} +a\mathbf {v} }$
Distributiva de multiplicació escalar respecte a l'addició de camp	${\displaystyle (a+b)\cdot \mathbf {v} =a\mathbf {v} +b\mathbf {v} }$
Compatibilitat de la multiplicació escalar amb la multiplicació de camp	${\displaystyle a\cdot (b\mathbf {v} )=(a\cdot b)\cdot \mathbf {v} }$ [nb 1]
Element d'identitat de la multiplicació escalar	${\displaystyle 1\mathbf {v} =\mathbf {v} }$ , on ${\displaystyle 1}$  representa la identitat multiplicativa de F.

Els elements d'un espai vectorial general V també serien objectes de qualsevol naturalesa, per exemple, funcions, polinomis, vectors o matrius. Àlgebra lineal s'ocupa de les propietats comunes a tots els espais vectorials.

Dins dels espais vectorials de dimensió finita, són d'ampli ús dels tres tipus següents d'espais vectorials:

Aquest espai vectorial està format pel conjunt de vectors de n dimensions (és a dir amb n nombre de components). Podem trobar un exemple d'ells en els vectors de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , que són famosos per representar les coordenades cartesianes: (2,3), (3,4), ...

És un arranjament rectangular de nombres, símbols o expressions, les dimensions són descrites en les quantitats de files (usualment m) per les de columnes (n) que posseeixen. Els arranjaments matricials són particularment estudiats per l'àlgebra lineal i són bastant usats en les ciències i enginyeria.

Un exemple d'espai vectorial està donat per tots els polinomis el grau és menor o igual a 2 amb coeficients reals sobre una variable x.

Exemples de tals polinomis són:

${\displaystyle 4x^{2}-5x+1,\quad {\frac {2x^{2}}{7}}-3,\quad 8x+4,\quad 5}$ 

La suma de dos polinomis el grau no excedeix a 2 és un altre polinomi el grau no excedeix a 2:

${\displaystyle (3x^{2}-5x+1)+(4x-8)=3x^{2}-x-7}$ 

El camp d'escalars és naturalment el dels nombres reals, i és possible multiplicar un nombre per un polinomi:

${\displaystyle 5\cdot (2x+3)=10x+15}$ 

on el resultat novament és un polinomi (és a dir, un vector).

Un exemple de transformació lineal és l'operador derivada D, que assigna a cada polinomi el resultat de derivar:

${\displaystyle D(3x^{2}-5x+7)=6x-5.}$ 

L'operador derivada satisfà les condicions de linealitat, i encara que és possible demostrar-ho amb rigor, simplement ho il·lustrem amb un exemple la primera condició de linealitat:

${\displaystyle D((4x^{2}+5x-3)+(x^{2}-x-1))=D(5x^{2}+4x-4)=10x+4}$ 

i d'altra banda:

${\displaystyle D(4x^{2}+5x-3)+D(x^{2}-x-1)=(8x+5)+(2x-1)=10x+4.}$ 

Qualsevol espai vectorial té una representació en coordenades similar a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , la qual cosa s'obté mitjançant l'elecció d'una base (és a dir, un conjunt especial de vectors), i un dels temes recurrents en l'àlgebra lineal és l'elecció de bases apropiades perquè els vectors de coordenades i les matrius que representen les transformacions lineals tinguin formes senzilles o propietats específiques.

A causa de la ubiqüitat dels espais vectorials, àlgebra lineal s'utilitza en molts camps de les matemàtiques, les ciències naturals, les ciències de la computació i la ciència social. Aquests són només alguns exemples d'aplicacions d'àlgebra lineal.

L'àlgebra lineal proporciona l'entorn formal per la combinació lineal d'equacions usades en el mètode de Gauss. Suposem que l'objectiu és trobar i descriure la solució, si n'hi ha, del següent sistema d'equacions lineals:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (L_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (L_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (L_{3})\end{alignedat}}}$ 

L'algorisme de reducció de Gauss és el següent: eliminar x de totes les equacions baix L₁, i després eliminar y de totes les equacions sota de L₂. Això posarà el sistema en forma triangular. Després, utilitzant substitució regressiva, cada incògnita es pot resoldre per:

${\displaystyle L_{2}+{\tfrac {3}{2}}L_{1}\rightarrow L_{2}}$ 

${\displaystyle L_{3}+L_{1}\rightarrow L_{3}}$ 

El resultat és:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}}$ 

Ara la incògnita y pot ésser eliminada de L₃ sumant -4L₂ a L₃:

${\displaystyle L_{3}+-4L_{2}\rightarrow L_{3}}$ 

i el resultat és:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}}$ 

Aquest resultat és un sistema d'equacions lineals en forma triangular, per tant la primera part de l'algorisme està completa.

L'última part consisteix en solucionar les incògnites en ordre invers, de la següent manera

${\displaystyle z=-1\quad (L_{3})}$ 

Aleshores, la incògnita z pot ser substituïda a L₂, que pot ser solucionada per a obtenir

${\displaystyle y=3\quad (L_{2})}$ 

Després, les incògnites z iy poden ser substituïdes a L₁, que pot ser solucionada per a obtenir

${\displaystyle x=2\quad (L_{1})}$ 

El sistema està solucionat. En general, un sistema d'equacions lineals es pot escriure en expressió matricial:

${\displaystyle Ax=b.}$ 

La solució a aquest sistema es caracteritza pels següents passos. Primer es troba una solució particular x₀ d'aquesta equació utilitzant el mèdode d'eliminació de Gauss. Després, es calculen les solucions de Ax = 0; en altres paraules, es calcula el nullspace N de A. El conjunt de solucions d'aquesta equació ve determinat per ${\displaystyle x_{0}+N=\{x_{0}+n:n\in N\}}$ .

Si el nombre de variables és igual al nombre d'equacions, aleshores el sistema té una solució única si i solament si detA ≠ 0.^[11]

Com que l'àlgebra lineal és una teoria reeixida, els seus mètodes s'han desenvolupat per altres àrees de la matemàtica: a la teoria de mòduls, que substitueix al cos en els escalars per un anell, en el àlgebra multilineal, un brega amb 'múltiples variables' en un problema de mapatge lineal, en el qual cada nombre de les diferents variables es dirigeix al concepte de tensor, en la teoria de l'espectre dels operadors de control de matrius de dimensió infinita, aplicant l'anàlisi matemàtica en una teoria que no és purament algebraica. En tots aquests casos les dificultats tècniques són molt més grans.

Història

• Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra" («PDF». Arxivat de l'original el 2010-07-14. [Consulta: 17 març 2013].), American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
• Grassmann, Hermann, Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.

Llibres de text introductoris

• Bretscher, Otto. Linear Algebra with Applications. 3a edició. Prentice Hall, 28 juny 2004. ISBN 978-0-13-145334-0. 
• Farin, Gerald; Hansford, Dianne. Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox. AK Peters, 15 desembre 2004. ISBN 978-1-56881-234-2. 
• Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. Linear Algebra. 4a ed.. Prentice Hall, 11 novembre 2002. ISBN 978-0-13-008451-4. 
• Hefferon, Jim. Linear Algebra, 2008. 
• Anton, Howard. Elementary Linear Algebra (Applications Version). 9a ed.. Wiley International, 2005. 
• Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. 3a edició. Addison Wesley, 22 agost 2005. ISBN 978-0-321-28713-7. 
• Kolman, Bernard; Hill, David R. Elementary Linear Algebra with Applications. 9a ed.. Prentice Hall, 3 maig 2007. ISBN 978-0-13-229654-0. 
• Leon, Steven J. Linear Algebra With Applications. 7a ed.. Pearson Prentice Hall, 2006. ISBN 978-0-13-185785-8. 
• Poole, David. Linear Algebra: A Modern Introduction. 3a edició. Cengage – Brooks/Cole, 2010. ISBN 978-0-538-73545-2. 
• Ricardo, Henry. A Modern Introduction To Linear Algebra. CRC Press, 2010. ISBN 978-1-4398-0040-9. 
• Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 4a ed.. Brooks Cole, 19 juliol 2005. ISBN 978-0-03-010567-8. 

Llibres de text avançats

• Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. 2a edició. Springer, 26 febrer 2004. ISBN 978-0-387-98258-8. 
• Bhatia, Rajendra. Matrix Analysis. Springer, 15 novembre 1996. ISBN 978-0-387-94846-1. 
• Demmel, James W. Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, 1 agost 1997. ISBN 978-0-89871-389-3. 
• Gantmacher, F.R.. Applications of the Theory of Matrices. Dover Publications, 2005, 1959 edition. ISBN 978-0-486-44554-0. 
• Gantmacher, Felix R. Matrix Theory Vol. 1. 2a edició. American Mathematical Society, 1990. ISBN 978-0-8218-1376-8. 
• Gantmacher, Felix R. Matrix Theory Vol. 2. 2a edició. American Mathematical Society, 2000. ISBN 978-0-8218-2664-5. 
• Gelfand, I. M.. Lectures on Linear Algebra. Dover Publications, 1989. ISBN 978-0-486-66082-0. 
• Glazman, I. M.; Ljubic, Ju. I.. Finite-Dimensional Linear Analysis. Dover Publications, 2006. ISBN 978-0-486-45332-3. 
• Golan, Johnathan S. The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know. 2a edició. Springer, gener 2007. ISBN 978-1-4020-5494-5. 
• Golan, Johnathan S. Foundations of Linear Algebra. Kluwer, agost 1995. ISBN 0-7923-3614-3. 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. Matrix Computations. 3a edició. The Johns Hopkins University Press, 15 octubre 1996. ISBN 978-0-8018-5414-9. 
• Greub, Werner H. Linear Algebra. 4a ed.. Springer, 16 octubre 1981. ISBN 978-0-8018-5414-9. 
• Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray. Linear Algebra. 2a edició. Prentice Hall, 25 abril 1971. ISBN 978-0-13-536797-1. 
• Halmos, Paul R. Finite-Dimensional Vector Spaces. Springer, 20 agost 1993. ISBN 978-0-387-90093-3. 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 23 febrer 1990. ISBN 978-0-521-38632-6. 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 24 juny 1994. ISBN 978-0-521-46713-1. 
• Lang, Serge. Linear Algebra. 3a edició. Springer, 9 març 2004. ISBN 978-0-387-96412-6. 
• Marcus, Marvin; Minc, Henryk. A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities. Dover Publications, 2010. ISBN 978-0-486-67102-4. 
• Meyer, Carl D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 15 febrer 2001. ISBN 978-0-89871-454-8. 
• Mirsky, L. An Introduction to Linear Algebra. Dover Publications, 1990. ISBN 978-0-486-66434-7. 
• Roman, Steven. Advanced Linear Algebra. 2a edició. Springer, 22 març 2005. ISBN 978-0-387-24766-3. 
• Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov. Linear Algebra and Geometry. Springer, 2012. ISBN 978-3-642-30993-9. 
• Shilov, Georgi E. Linear algebra. Dover Publications, 1 juny 1977. ISBN 978-0-486-63518-7. 
• Shores, Thomas S. Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Springer, 6 desembre 2006. ISBN 978-0-387-33194-2. 
• Smith, Larry. Linear Algebra. Springer, 28 maig 1998. ISBN 978-0-387-98455-1. 

Guies d'estudi i esquemes

• Leduc, Steven A. Linear Algebra (Cliffs Quick Review). Cliffs Notes, 1 maig 1996. ISBN 978-0-8220-5331-6. 
• Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc. Schaum's Outline of Linear Algebra. 3a edició. McGraw-Hill, 6 desembre 2000. ISBN 978-0-07-136200-9. 
• Lipschutz, Seymour. 3,000 Solved Problems in Linear Algebra. McGraw–Hill, 1 gener 1989. ISBN 978-0-07-038023-3. 
• McMahon, David. Linear Algebra Demystified. McGraw–Hill Professional, 28 octubre 2005. ISBN 978-0-07-146579-3. 
• Zhang, Fuzhen. Linear Algebra: Challenging Problems for Students. The Johns Hopkins University Press, 7 abril 2009. ISBN 978-0-8018-9125-0. 

• Valor propi, vector propi i espai propi
• Regressió lineal, un mètode d'estimació estadística

 

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Àlgebra lineal

• MIT Professor Gilbert Strang's Linear Algebra Course Homepage: Curs del MIT (anglès)
• Linear Algebra Toolkit (anglès)
• https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_algebra
• Linear Algebra a MathWorld (anglès)