0,9 periódicu

En matemátiques, 0,999… (siendo la coma un separador decimal) ye'l númberu decimal periódicu que se demuestra nesti mesmu artículu— denota al númberu 1. N'otres pallabres, los símbolos «0,999...» y «1» son dos representaciones distintes del mesmu númberu real.^[1] Les demostraciones matemátiques d'esta igualdá formuláronse con distintos graos de rigor, dependiendo del métodu escoyíu pa definir los númberos reales, les hipótesis y camientos de partida, el contestu históricu o'l públicu al que se dirixe.

El fechu de que ciertos númberos reales puedan representase por más d'una secuencia de díxitos nun se llenda al sistema decimal namái. El mesmu fenómenu asocede en toles bases enteres, y los matemáticos tamién cuantificaren les maneres d'escribir 1 en bases non enteres. Nin siquier se trata d'un fenómenu acutáu al númberu 1: tou númberu decimal finitu non nulu tien un ximielgu con infinitos nuevos, por casu: 2 y 1,999... representen al númberu natural dos; 28,3287 y 28,3286999... tamién representen al mesmu númberu decimal. Por simplicidá, el decimal finito ye cuasi siempres la representación preferida, lo que puede contribuyir a una equivocada interpretación de que ye la única representación. Per otra parte, la forma non terminal d'un númberu dexa estudiar más fácilmente los patrones de la espansión decimal de ciertes fracciones; en base tres, por casu, dexa espresar la estructura ternaria del conxuntu de Cantor, un fractal simple. La representación múltiple tien de tomase en cuenta na demostración clásica de la non numerabilidá de los númberos reales. De manera más xeneral, cualesquier sistema de numberación posicional de los númberos reales, contién una cantidá infinita de númberos con representaciones múltiples.

La igualdá 0,999... = 1 acéptase dende va tiempu polos matemáticos ya inclúiese nos llibros de testu. Nun foi hasta les últimes décades en que los enseñantes de matemática se decidieron por estudiar la perceición d'esta igualdá ente los estudiantes, munchos de los que primeramente la cuestionaron o la negaron. Munchos persuádense por una apelación a l'autoridá de los llibros de testu y los profesores, o por razonamientos aritméticos. Sicasí, dalgunos nun se conformen polo que busquen una xustificación ulterior.

La igualdá 0,999... = 1 ta íntimamente rellacionada cola ausencia de númberos reales infinitesimales non nulos. Dellos sistemes de numberación alternativos, como los númberos hiperreales, sí contienen infinitesimales non nulos; nestos sistemes, a diferencia de los reales, puede haber númberos que la so estrema col 1 seya menor que cualquier númberu racional. Otros sistemes, como por casu los númberos p-ádicos, tienen otra forma d'espansión decimal», que se porta de manera bien distinta a la espansión de los númberos reales. Anque los númberos reales son l'oxetu d'estudiu más común nel campu del analís matemáticu, tantu los hiperreales como los p-ádicos tienen aplicaciones nesta área.

Una razón pola que los decimales infinitos son una ampliación necesaria de los decimales finitos, ye que dexa la representación de fracciones. Utilizando l'algoritmu de la división, una simple división d'enteros como 1/9, convertir nel decimal periódicu 0,111..., nel que los díxitos repitir ensin fin. Esti exemplu utilizar pa dar una rápida demostración de que 0,999... = 1.

La multiplicación de 9 por 1 da 9 en cada díxitu, asina 9 × 0,111... = 0,999..., y 9 × 1/9 = 1, lo qu'implica que 0,999... = 1:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{9}}&=0,111\dots \\9\times {\frac {1}{9}}&=9\times 0,111\dots \\1&=0,999\dots \end{aligned}}}$

Una alternativa, tamién bien frecuente, ye utilizar 1/3 = 0,333... y multiplicar por 3.

Cuando un númberu escritu en notación decimal multiplicar por 10, los díxitos nun camuden pero'l separador decimal muévese un llugar a la derecha. Asina, 10 × 0,999... = 9,999..., que ye 9 unidaes mayor que'l númberu orixinal. Pa comprobalo, basta restar 0,999... de 9,999..., los díxitos a la derecha del separador decimal atáyense unu a unu, y el resultáu ye 9 − 9 = 0 pa cada unu d'estos díxitos:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,999\ldots \\10x&=9,999\ldots \\10x-x&=9,999\ldots -0,999\ldots \\9x&=9\\x&=1\end{aligned}}}$

Anque estes pruebes demuestren que 0,999... = 1, el pretender qu'«espliquen» la ecuación, depende de les mires de l'audiencia atendida. N'aritmética elemental, estes pruebes ayuden a esplicar por qué 0,999... = 1, o por qué 0,333... < 0,34. N'álxebra elemental, estes demostraciones espliquen por qué'l métodu xeneral de conversión ente fracciones y númberos decimales funciona. Pero les pruebes nun esclarien la rellación fundamental ente los decimales y los númberos a los que representen, onde subyaz la entruga de cómo dos decimales distintos pueden ser, ello ye qu'iguales.^[3] William Byers argumenta que l'estudiante qu'acepta que 0,999... = 1 basáu nestes pruebes, pero que nun resolvió l'ambigüedá, nun entendió realmente la ecuación.^[4] Según Fred Richman, el primer argumentu «toma la so fuercia del fechu de que la mayor parte de la xente foi adoctrinada p'aceptar la primer ecuación ensin pensalo».^[5]

Una vegada que se definió un esquema representativu, puede usase pa xustificar les regles de l'aritmética decimal utilizada nestes demostraciones. Entá más, puede demostrase direutamente que los decimales 0,999... y 1,000... representen el mesmu númberu real; esta construcción por definición esplícase más embaxo.

Como la cuestión de 0,999... nun afecta al desarrollu formal de les matemátiques, puede aplazase hasta que se demuestren los teoremes estándares del analís real. Un requisitu ye carauterizar los númberos reales que pueden escribise en notación decimal, compuestu por un signu opcional, una secuencia finita de cualquier númberu de díxitos que formen la parte entera, un separador decimal y una secuencia de díxitos que formen la parte fraccionaria. Pa falar de 0,999... la parte entera puede resumise como b₀ y pueden desdexase negativos, asina una espansión decimal tien la forma

${\displaystyle b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}\dots }$

Ye vital que la parte fraccionaria, a diferencia de la parte entera, nun tea llindada a un númberu finitu de díxitos. Esto ye una notación posicional, asina por casu, el cinco en 500 contribúi diez veces más que'l 5 en 50, y el 5 en 0,05 contribúi una décima parte que'l 5 en 0,5.

El desarrollu quiciabes más común de les espansiones decimales, ye definiles en términos de series infinites. Polo xeneral:

${\displaystyle b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .}$

Pa 0,999... puede aplicase'l teorema de converxencia de les series xeométriques:^[6]

Si ${\displaystyle |r|<1\,\!}$ entós ${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.}$

Puesto que 0,999... ye una suma d'esti tipu, con ${\displaystyle \scriptstyle r=1/10}$, el teorema resuelve rápido la cuestión:

${\displaystyle 0,999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,}$

Esta demostración (ello ye que que 10 ye igual a 9,999...) apaez yá en 1770 en Elementos d'álxebra de Leonhard Euler.^[7]

La suma de series xeométriques en sí, son un resultáu anterior a Euler. Una demostración típica del sieglu XVIII utiliza una manipulación términu a términu asemeyada a la demostración alxebraica enantes amosada; en 1811, el llibru de testu de Bonnycastle Una Introducción a l'Álxebra usa una serie xeométrica d'esti tipu pa xustificar la mesma maniobra sobre 0,999....^[8] Una reacción del sieglu XIX contra tales métodos d'adición lliberales resultó na definición qu'entá apodera güei: la suma d'una serie definese como la llende de la socesión de les sos sumes parciales. Una demostración correspondiente del teorema calcula esplícitamente esta socesión; puede atopase en cualquier introducción al cálculu o l'analís basáu na demostración.^[9]

Una socesión (x₀, x₁, x₂, ...) tien por Llende d'una socesión llende x si la distancia |x − x_n| se vuelve arbitrariamente pequeña a midida que n aumenta. L'afirmación mesma 0,999... = 1 pue interpretase y demostrase como llende:^[10]

${\displaystyle 0,999\ldots =\lim _{n\to \infty }0,\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.\,}$

L'últimu pasu, que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0}$, suel xustificase pol axoma de la propiedá arquimediana de los númberos reales. Esta actitú a la escontra ${\displaystyle \scriptstyle 0,999\ldots }$ basada en llendes ye por cierto más evocadora, anque muncho menos precisa. Por casu, nel llibru de testu de 1846 The University Arithmetic esplícase: «0,999 +, siguiendo al infinitu = 1, porque cada 9 anexáu avera'l valor entá más a 1»; el testu de 1895 Arithmetic for Schools diz «...cuando se toma una gran cantidá de 9s, la diferencia ente 1 y 0,99999... vuélvese inconcebiblemente pequeña».^[11] Estos enfoques heurísticos suelen interpretase polos estudiantes como que 0,999... en sí ye menor que 1.

La definición de series amosada más arriba ye una manera cenciella de definir un númberu real denotáu por una espansión decimal. El procesu opuestu apurre una visión complementaria: pa un númberu real dau, definir la espansión decimal que lu denota.

Si un númberu real x pertenez al intervalu zarráu [0 ; 10] (i.y, ye mayor o igual a cero y menor o igual a diez), puede estremase esti intervalu en diez partes que se superpongan namái nes estremidaes: [0 ; 1], [1 ; 2], [2 ; 3], y asina hasta [9 ; 10]. El númberu x tien de pertenecer a dalgún d'ellos; si pertenez a [2 ;3], anótase'l díxitu «2» y subdivídese esi intervalu en [2 ; 2,1], [2,1 ; 2,2], ..., [2,8 ; 2,9], [2,9 ; 3]. Siguiendo esti procesu llógrase una socesión infinita d'intervalos encaxaos, retulaos por una socesión infinita de díxitos b₀, b₁, b₂, b₃, ..., que s'escriben

${\displaystyle x=b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}\dots }$

Con esti formalismu, les identidaes 1 = 0,999... y 1 = 1,000... reflexen, respeutivamente, el fechu de que'l 1 tea tantu nel intervalu [0 ; 1] como en [1 ; 2], polo que puede escoyese cualesquier de los dos intervalos al escribir los díxitos. P'asegurase de qu'esta notación nun abuse del signu «=», riquir d'un métodu que dexe reconstruyir un únicu númberu real pa cada decimal, como por casu les llendes; otres construcciones enceten la tema del ordenamientu.^[12]

Una opción direuta ye'l teorema de los intervalos encaxaos, que garantiza que, dada una socesión d'intervalos zarraos encaxaos, que'l so llargor puede facese arbitrariamente pequeñu, los intervalos contienen exautamente un númberu real nel so interseición. Asina, b₀,b₁b₂b₃... queda definíu como l'únicu númberu conteníu en tolos intervalos [b₀ ; b₀ + 1], [b₀,b₁ ; b₀,b₁ + 0,1], y asina socesivamente. D'esta miente, 0,999... ye l'únicu númberu real que ta en tolos intervalos [0 ; 1], [0,9 ; 1], [0,99 ; 1], y [0,99...9 ; 1] pa cada cola finita de 9s. Teniendo en cuenta que'l 1 ye un elementu de cada unu d'estos intervalos, 0,999... = 1.^[13]

El teorema de los intervalos surde polo xeneral como una carauterística entá más fundamental de los númberos reales: la existencia de la mínima cota cimera o supremu. Pa esplotar direutamente estos oxetos, defínese b₀,b₁b₂b₃... como la mínima cota cimera del conxuntu d'aproximantes {b₀ ; b₀,b₁ ; b₀,b₁b₂ ; ...}.^[14] Puede demostrase qu'esta definición (o la definición de los intervalos encaxaos) ye consistente col procesu de subdivisión, lo cual implica 0,999... = 1 nuevamente. Tom Apostol conclúi,

El fechu de qu'un númberu real pueda tener dos representaciones decimales distintos ye puramente un reflexu del fechu de que dos conxuntos distintos de númberos reales pueden tener el mesmu supremu.^[15]

Puede definise explícitamente a los númberos reales como una cierta estructura construyida sobre los númberos racionales, basándose na teoría axomática de conxuntos. Los númberos naturales – 0, 1, 2, 3, ... – empiecen en 0 y siguen ascendentemente, de cuenta que cada númberu tien un socesor. Esti conxuntu puede estendese al añader los negativos, llográndose asina'l conxuntu de los númberos enteros; éstos, de la mesma, tamién pueden estendese si añaden los cocientes, a los númberos racionales. Estos conxuntos numbéricos acompañar de los cuatro operaciones aritmétiques fundamentales: suma, resta, multiplicación y división. De manera más sutil, tienen un ordenamientu, de cuenta que cada unu d'estos númberos puede ser comparáu con dalgún otru, y va ser menor que, mayor que, o igual a esti otru númberu.

El pasu de los racionales a los reales ye una estensión enforma mayor. Hai siquier dos maneres corrientes de faelo, dambes publicaes en 1872: per mediu de les cortadures de Dedekind y por socesiones de Cauchy. Pruebes de que 0,999... = 1 qu'utilicen direutamente estes construcciones nun s'atopen en llibros de testu d'analís real, onde l'enclín modernu mientres les últimes décades foi l'usu del analís axomáticu. Inclusive cuando la hai, la construcción ye usualmente aplicada a la demostración de los axomes de los númberos reales, que depués sofiten les pruebes anteriores. Sicasí, munchos autores sostienen qu'empezar cola construcción ye más apropiáu lóxicamente, y les pruebes que resulten tienen mayor autonomía.^[16]

Nel métodu de les cortadures de Dedekind, cada númberu real x defínese como'l conxuntu infinitu de tolos númberos racionales que son menores que x.^[17] En particular, el númberu real 1 ye'l conxuntu de tolos númberos racionales menores a 1.^[18] Toa espansión decimal positiva determina fácilmente una cortadura de Dedekind: el conxuntu de númberos racionales que son menores que dalguna etapa de la espansión. Depués el númberu real 0,999... ye'l conxuntu de númberos racionales r tales que r < 0, o r < 0,9, o r < 0,99, o r ye menor que dalgún otru númberu de la forma :${\displaystyle {\begin{aligned}1-\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{n}\end{aligned}}}$.^[19]

Tou elementu de 0,999... ye menor que 1, depués ye un elementu del númeo real 1. Inversamente, un elementu de 1 ye un númberu racional

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {a}{b}}<1\end{aligned}},}$

lo cual implica

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {a}{b}}<1-\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{b}\end{aligned}}.}$

Puesto que 0,999... y 1 contienen los mesmos númberos racionales, son el mesmu conxuntu: 0,999... = 1.

Esta definición de los númberos reales como cortadures de Dedekind foi publicada per primer vegada por Richard Dedekind en 1872.^[20] El métodu descritu enantes p'asignar un númberu real a cada espansión decimal ye por cuenta de una publicación de calter esplicativu intitulada: "Is 0.999 ... = 1?" de Fred Richman en Mathematics Magazine, dirixida a enseñantes de matemática de nivel entemediu y los sos estudiantes.^[21] Richman nota qu'al tomar les cortadures de Dedekind en cualesquier subconxuntu trupu de los númberos racionales llógrase'l mesmu resultáu; en particular, utiliza fracciones decimales, pa les cualos la demostración ye más inmediata. Tamién nota que, típicamente, les definiciones dexen que { x : x < 1 } seya una cortadura pero non { x : x ≤ 1 } (o viceversa).

"¿Para qué faer esto? Precisamente pa esaniciar la posibilidá de qu'esistan númberos distintos 0,9* y 1. [...] Entós vemos que na definición tradicional de los númberos reales, la ecuación 0,9* = 1 ta incorporada dende l'empiezu."^[22] Un cambéu suplementariu del procesu lleva a una estructura distinta onde nun son iguales. Anque consistente, munches de les operaciones aritmétiques avezaes fallen, por casu la fracción 1/3 nun tien representación; vease sistemes de numberación alternativos más embaxo.

Otru métodu de construcción de los númberos reales utiliza l'ordenamientu de los racionales de manera menos direuta. Defínese primero la distancia ente x y y como'l valor absolutu |x − y|, onde'l valor absolutu |z| defínese como'l máximu ente z y −z, polo que nunca ye negativu. Defínese entós a los númberos reales como la socesión de racionales que cumplen la propiedá de les socesiones de Cauchy con esta distancia, esto ye: na socesión (x₀, x₁, x₂, ...), una aplicación de los númberos naturales nos racionales, pa tou racional positivu δ esiste N tal que |x_m − x_n| ≤ δ pa tou m, n > N (la distancia ente los términos vuélvese menor que cualquier númberu racional positivu).^[23]

Si (x_n) y (y_n) son dos socesiones de Cauchy, entós defínense como númberos reales iguales si la socesión (x_n − y_n) tien por llende 0. Truncamientos del númberu decimal b₀,b₁b₂b₃... xeneren una socesión de racionales que ye de Cauchy; d'esta manera define'l valor real del númberu.^[24] Depués, según esti formalismu, la xera ye amosar que la socesión de númberos racionales

${\displaystyle \left(1-0,1-{9 \over 10},1-{99 \over 100},\dots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\dots \right)}$

tien por llende 0. Considerando'l n-ésimo términu de la socesión, pa n=0,1,2,..., tien d'amosase entós que

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0.}$

Esta llende calcúlase fácilmente;^[25] una demostración posible ye la siguiente: pa ε = a/b > 0 puede tomase N = b na definición de llende d'una socesión. Asina, nuevamente 0,999... = 1.

La definición de los númberos reales como socesiones de Cauchy foi publicada per primer vegada de manera independiente por Eduard Heine y Georg Cantor, tamién en 1872.^[20] El métodu de les espansiones decimales descritu enantes, incluyendo la prueba de que 0,999... = 1, sigue de cerca'l trabayu de Griffiths & Hilton de 1970 "Un llibru de testu comprensible de matemática clásica: una interpretación contemporánea". El llibru ta escritu específicamente pa ufiertar una segunda mirada sobre conceutos familiares so una interpretación moderna.^[26]

La resultancia 0,999... = 1 xeneralízase rápido de dos formes. De primeres, tou númberu non nulu con una notación decimal finita (equivalentemente, con una socesión infinita de ceros) tien una contraparte con infinitos nueves, por casu: 0,24999... ye igual a 0,25 esautamente como nel casu especial consideráu. Estos númberos son esautamente les fracciones decimales, y son trupes.^[27]

De segundes, un teorema comparable puede aplicase en cada radix o base, por casu: en base 2 (sistema binariu), 0,111... ye igual a 1, y en base 3 (sistema ternariu), 0,222... ye igual a 1. Los llibros de testu d'analís real suelen resalvar l'exemplu 0,999... y presenten dalguna d'estos dos xeneralizaciones dende l'empiezu.^[28]

Representaciones alternatives del 1 tamién se dan en bases non enteres, por casu, na base áurea , los dos representaciones estándar son 1,000... y 0,101010..., y esisten infinites representaciones más qu'inclúin 1s axacentes. Polo xeneral, pa cuasi tou q ente 1 y 2, esisten incontables espansiones en q-base del 1. Per otru llau, hai incontables q (incluyendo tolos númberos naturales mayores que 1) pa los cualos namái hai una espansión en q-base del 1, amás del 1,000.... trivial. Esta resultancia foi llográu per vegada primera por Paul Erdős, Miklos Horváth y István Joó alredor de 1990. En 1998, Vilmos Komornik y Paola Loreti determinaron la menor base d'esti tipu, la constante de Komornik–Loreti q = 1,787231650.... Nesta base, 1 = 0,11010011001011010010110011010011...; los díxitos vienen daos pola socesión de Thue-Morse, que nun se repite.^[29]

Una xeneralización de mayor algame fai referencia a los sistemes de numberación posicional más xenerales. Estos sistemes tamién tienen múltiples representaciones, y, per un sitiu, revisten mayor entueyu, por casu:^[30]

• Nel sistema ternariu banciáu, ¹/₂ = 0,111... = 1,<o>111</o>....
• Nel inversu del sistema factorádico (utilizando bases 2,3,4,... pa posiciones dempués del puntu decimal), 1 = 1,000... = 0,1234....

El fechu de que toos estos sistemes de numberación estremaos aprovan múltiples representaciones pa dellos númberos reales, puede atribuyise a una diferencia fundamental ente los númberos reales, en cuantes que conxuntu ordenáu, y una coleición de cadenes infinites de símbolos ordenaos lexicográficamente. Ello ye que les siguientes dos propiedaes dan cuenta d'esta dificultá:

• Si un intervalu de los númberos reales se particiona en dos partes non vacíes L y R tales que cada elementu de L seya (puramente) menor que tou elementu de R, entós: o bien L contién un elementu mayor, o bien R contién un elementu menor, pero non dambos.
• La coleición de cadenes infinites de símbolos tomaos de cualquier alfabetu» finitu, ordenáu lexicográficamente, pue ser particionáu en dos partes non vacíes L y R, tales que cada elementu de L ye menor que tou elementu de R, onde L contién un elementu mayor y R contién un elementu menor. Ello ye que ye abondu con tomar dos subcadenes finites (iniciales) p₁, p₂ d'elementos de la coleición, tales que difieran namái nel símbolu final, pal que tienen valores socesivos, y tomar pa L el conxuntu de toles cadenes na coleición que la so subcadena correspondiente seya lo más p₁, y pa la borrafa R, la cadena de la coleición que la so subcadena correspondiente seya siquier p₂. Depués, L tien un elementu mayor, empezando por p₁ y escoyendo el mayor símbolu disponible en toles posiciones siguientes, onde R tien un elementu menor que se llogra al siguir p₂ del menor símbolu en toles posiciones.

El primer puntu deduzse de propiedaes básiques de los númberos reales: L tien un supremu, R tien un ínfimu, y vese darréu que son iguales; un númberu real va tar en R o en L pero non en dambos, pos son conxuntos dixuntos. El segundu puntu xeneraliza'l par 0,999.../1,000... llográu por p₁ = "0", p₂ = "1". Ello ye que nun ye necesariu utilizar el mesmu alfabetu pa toles posiciones (de cuenta que por casu los sistemes de raigañu mistu pueden incluyise) o considerar la coleición completa de cadenes posibles; los únicos puntos importantes son que, en cada posición, un conxuntu finito de símbolos (que pueden depender inclusive de los símbolos previos) pueda ser escoyíu (esto ye necesariu p'asegurar eleiciones máximes y mínimes), y qu'al faer una eleición válida pa cualquier posición, el resultáu tien de ser una cadena infinita válida (de cuenta que nun se dexa «9» en cada posición si prohiben socesión infinites de «9»s). So estes premises, l'argumentu anterior amuesa qu'una aplicación que caltién l'orde de la coleición de cadenes a un intervalu de númberos reales, nun puede ser una biyección: o bien dellos númberos nun correspuenden a nenguna cadena, o bien dalgunos d'ellos correspuenden a más d'una cadena.

Marko Petkovšek demostró que pa tou sistema posicional que nome a tolos númberos reales, el conxuntu de reales que va tener representación múltiple ye siempres trupu. Llapada a esta demostración: «un exerciciu instructivu en topología punto-conxuntu»; arreya conxuntos de valores posicionales vistos como espacios de Stone y el fechu de que la so representación real vien dada por funciones continues.^[31]

Una aplicación de 0,999... como representación de 1 dar en teoría de númberos elemental. En 1802, H. Goodwin publicó una observación sobre l'apaición de 9s nes representaciones decimales periódiques de fracciones que'l so denominador son ciertos númberos primos. Por casu

• ¹/₇ = 0,142857142857... y 142 + 857 = 999.
• ¹/₇₃ = 0,0136986301369863... y 0136 + 9863 = 9999.

Y. Midy probó un resultáu xeneral sobre estes fracciones, güei llamáu'l teorema de Midy, en 1836. La prueba ye escura, y nun ta claro si la so demostración arreya direutamente 0,999..., pero hai siquier una prueba moderna, realizada por W. G. Leavitt, que sí lo fai; si puede demostrase qu'un númberu decimal de la forma 0.b₁b₂b₃... ye un enteru positivu, entós tien que ser 0,999..., que ye la fonte de los 9s nel teorema.^[32] Les investigaciones nesta direición pueden motivar el desarrollu de conceutos tales como máximu común divisor, aritmética modular, númberos de Fermat, orde d'elementos d'un grupu y la llei de reciprocidá cuadrática.^[33]

N'analís real, el casu análogu en base-3: 0,222... = 1, xuega un papel esencial na carauterización d'unu de los fractales más simples: el conxuntu de Cantor:

• Un puntu del intervalu unidá ta nel conxuntu de Cantor si y solu si puede ser representáu en sistema ternariu usando namái los díxitos 0 y 2.

El n-ésimu díxitu de la representación reflexa la posición del puntu na n-ésima etapa de la construcción. Por casu, el puntu ²⁄₃ da cola representación avezada de 0,2 o 0,2000..., yá que ta a la derecha de la primer etapa y a la izquierda de toa etapa de construcción posterior. El puntu ¹⁄₃ represéntase non como 0,1 sinón como 0,0222..., pos ta a la izquierda de la primer etapa y a la derecha de toa etapa de construcción posterior.^[34]

Los nueves repitíos apaecen tamién n'otru trabayu de George Cantor: tienen de tomase en cuenta pa construyir una prueba válida, al aplicar el so prueba diagonal de 1891 a les espansiones decimales ed la non denombrabilidá del intervalu unidá. Esta demostración precisa poder declarar la diferencia ente ciertos pares de númberos reales basada nes sos espansiones decimales, polo que se deben evitar pareyes como 0,2 y 0,1999... Un métodu simple representa tolos númberos con espansión non finita; el métodu opuestu esclúi nueves repetitivos.^[35] Una variante quiciabes más cercana al argumentu orixinal de Cantor utiliza de fechu base-2: tresformando les espansiones en base-3 n'espansiones en base-2, puede demostrase igualmente la non denombrabilidá del conxuntu de Cantor.^[36]

Los estudiantes en matemática suelen refugar la igualdá de 0,999... y 1, por razones que van dende la so apariencia desemeyada, hasta fondos equívocos sobre'l conceutu de llende d'una socesión y la naturaleza de los infinitesimales. Hai dellos factores que contribúin al tracamundiu:

• Los estudiantes suelen tar «mentalmente comprometíos cola noción de qu'un númberu puede representase d'una manera y solo d'una manera por un decimal.» Ver dos decimales manifiestamente distintos representando'l mesmu númberu paez una paradoxa, lo que s'amplifica pola apariencia del supuestamente bien entendíu númberu 1.^[37]
• Dellos estudiantes interpreten «0,999...» (o dalguna notación asemeyada) como una cola llarga pero finita de 9s, posiblemente con un llargor variable y non especificada. Si acepten una cola infinita de nueves, pueden esperar entá un postreru 9 «al infinitu».^[38]
• La intuición y la enseñanza ambigua lleven a los estudiantes a pensar que la llende d'una socesión ye dalgún tipu de procesu infinitu en llugar d'un valor fixu, yá que una socesión non necesariamente algama la so llende. Cuando los estudiantes acepten la diferencia ente una socesión de númberos y la so llende, pueden llegar a lleer «0,999...» como si significara la socesión en llugar de la so llende.^[39]

Estes idees suelen malinterpretarse nel contestu tradicional de los númberos reales, anque dalgunes d'elles pueden ser válides n'otros sistemes de numberación, yá seya inventaos pola so utilidá matemática polo xeneral, o como contraexemplos instructivos pa una meyor comprensión de 0,999...

Munches d'estes esplicaciones fueron propuestes pol profesor David O. Tall, quien estudió les carauterístiques de la enseñanza y la cognición que lleven a dellos de los tracamundios qu'atopó ente los sos estudiantes del colexu. Entrugando a los sos estudiantes pa determinar por qué la vasta mayoría refuga primeramente la igualdá, atopó que «los estudiantes siguen concibiendo'l 0,999... como una socesión de númberos que s'averen más y más a 1 y non como un valor fixu, porque 'nun s'especificó cuántos llugares hai' o 'ye'l decimal más cercanu posible debaxo del 1'».^[40]

De les pruebes elementales, multiplicar 0,333... = ¹⁄₃ por 3 ye aparentemente una estratexa convincente pa persuadir a los estudiantes reticentes de que 0,999... = 1. Aun así, confrontados col conflictu ente la so creencia na primer ecuación y la negación alrodiu de la segunda, dellos estudiantes empiecen a descreer de la primera, o bien, terminen atayaos.^[41] Tampoco tán a salvo métodos más sofisticaos: estudiantes que son absolutamente capaces d'aplicar definiciones rigoroses, pueden entá sentir la necesidá de recurrir a imáxenes intuitives cuando son sorprendíos por resultaos matemáticos avanzaos, incluyendo 0,999... Por casu, n'analís real, una estudiante foi capaz de probar que 0,333... = ¹⁄₃ utilizando la definición del supremu, pa depués aportunar en que 0,999... < 1 basada na so conocencia previa de división euclídea.^[42] Dalgunos más, son capaces de probar que ¹⁄₃ = 0,333..., pero, confrontaos cola prueba por fracciones, aportunen en que la lóxica» prevalez sobre los cálculos matemáticos.

Joseph Mazur cunta la hestoria d'un brillante estudiante de cálculu que «cuestionaba cuasi tolo que yo dicía en clase pero nunca cuestionaba la so calculadora,» y que creía que nueve dígitos yera tolo que se precisaba pa facer matemátiques, incluyendo'l cálculu del raigañu cuadráu de 23; esti estudiante quedó inconforme col argumentu de que 9,99... = 10, llamándolo un «feroz procesu imaxinativu de crecedera infinita»."^[43]

Como parte de la teoría APOS d'Ed Dubinsky del aprendizaxe matemáticu, Dubinsky y los sos collaboradores (2005) proponen qu'aquellos estudiantes que conciben el 0,999... como una cola finita indeterminada, a una distancia infinitamente pequeña del 1, «nun construyeron entá un procesu de concepción completu del decimal infinitu». Otros estudiantes que completaron la concepción del procesu de 0,999... quiciabes nun fueron entá capaces de «encapsular» esi procesu dientro d'una concepción del oxetu», como la concepción que tienen del oxetu 1, y por esto ven el procesu 0,999... y del oxetu 1 como incompatibles. Dubinsky et al. tamién rellacionen esta habilidá mental d'encapsulación con ver ¹⁄₃ como un númberu con derechu propiu y con tratar al conxuntu de númberos naturales como un tou.^[44]

Cola puxanza d'Internet, los alderiques alrodiu del 0,999... trespasaron los salones de clases y son llugar común en Grupu de noticies y foros, incluyendo dellos que de fechu tienen pocu que ver coles matemátiques. Nel grupu de noticies sci.math, argumentar sobre 0,999... ye un deporte popular», y ye una de les entrugues que se respuenden nes sos FAQ (entrugues frecuentes).^[45] Les FAQ tomen de volao el casu ¹⁄₃, multiplicación por 10, llendes y tamién alude a les socesiones de Cauchy.

La edición del 2003 de la columna «interés xeneral» del diariu The Straight Dope alderica sobre'l 0,999... vía ¹⁄₃ y llendes, y fala de los tracamundios surdíos na tema:

El primate inferior que nos habita entá s'aguanta, diciendo: 0,999~ nun representa verdaderamente un númberu, sinón, un procesu. P'atopar un númberu tenemos de parar el procesu, puntu en que la igualdá 0,999~ = 1 ruémpese. Ye cualquier cosa.^[46]

La crónica The Straight Dope cita un discutiniu nel so propiu foru, traíu de «otru foru anónimu que trata principalmente de... xuegos de videu». Na mesma vena, la cuestión del 0,999... tuvo tanto ésitu mientres los primeros siete años del foru Battle.net de la sociedá Blizzard Entertainment, que la compañía emitió un comunicáu'l 1° d'abril de 2004 (día del pexe d'abril), afirmando que, definitivamente, ye 1:

Tamos bien emocionaos por cerrar esti llibru de discutinios d'una vegada por toes. Fuimos testigos de l'aprehensión y esmolición de los nuesos veceros por saber si 0,999~ ye o non igual a 1, y tamos arguyosos d'anunciar que la siguiente demostración, finalmente, y de manera concluyente, resuelve la tema.^[47]

Dos pruebes siguen darréu, basaes en llendes y na multiplicación por 10.

0,999... ye tamién parte del folclor matemáticu:^[48]

Entruga: ¿Cuántos matemáticos precisen pa camudar un focu? Respuesta: 0,999999...

Magar los númberos reales formen un sistema de numberación desaxeradamente útil, la decisión d'interpretar que la notación «0,999...» denota un númberu real ye, n'última instancia, una convención; Timothy Gowers acota, en ''Mathematics: A Very Short Introduction, que la identidá resultante 0,999... = 1 ye igualmente una convención:

De toes maneres, nun ye n'absoluto una convención arbitraria, yá que'l nun adoptala fuercia a unu a inventar nuevos oxetos estraños o a abandonar delles de les regles familiares de l'aritmética.^[49]

Ye posible definir otros sistemes de numberación utilizando distintes regles o oxetos nuevos; en dalgunos d'estos sistemes, les demostraciones anteriores tendríen que reinterpretase y podría atopase que, nun sistema de numberación dau, 0,9... y 1 podríen nun ser idénticos. De toes maneres, munchos sistemes de numberación son estensiones del – más qu'alternatives independientes al – sistema de númberos reales, poro 0,999... = 1 sigue siendo ciertu. Inclusive en dichos sistemes de numberación, vale la pena esaminar sistemes de numberación alternativos, non solo por cómo 0,999... pórtase (si, pal casu, un númberu espresáu como «0,999...» tuviera sentíu y nun fuera ambiguu), sinón tamién pol comportamientu de fenómenos rellacionaos. Si dalgunu d'estos fenómenos difier d'aquellos que se presenten nel sistema de los númberos reales, entós siquier dalguna de les hipótesis de base del nuevu sistema tien de ser falsu.

Dalgunes de les demostraciones de que 0,999... = 1 se basa na propiedá arquimediana de los númberos reales: nun hai infinitesimales non nulos. Específicamente, la diferencia 1 − 0,999... tien de ser menor que cualquier númberu racional positivu, polo que tien de ser un infinitesimal; yá que los númberos reales nun contienen infinitesimales non nulos, síguese que la diferencia tien de ser cero, y poro, los dos valores son el mesmu.

Pueden construyise estructures alxebraiques ordenaes, matemáticamente coherentes, incluyendo delles alternatives a los númberos reales, que son non arquimedianes. Por casu, los númberos duales inclúin un nuevu elementu infinitesimal ε, análogu a la unidá imaxinaria i de los númberos complexos, sacante pol fechu que ε² = 0. La estructura que resulta ye d'utilidá en diferenciación automática. Los númberos duales pueden dotase d'un orde lexicográficu, y nesi casu los múltiplos de conviértense n'elementos non arquimedianos.^[50] Hai que notar que, sicasí, en cuantes qu'estensión de los númberos reales, los númberos duales entá traen 0,999... = 1. Hai que notar amás que, magar ε esiste nos númberos duales, tamién ε/2, polo que ε nun ye «el menor númberu dual positivu», y, ello ye que como nos reales, nun existe tal elementu.

L' analís non estándar aprove un sistema de numberación con tou un conxuntu d'infinitesimales (y los sos inversos).^[51] A. H. Lightstone desenvuelve una espansión decimal pa los númberos hiperreales en (0 ; 1)^∗.^[52] Lightstone amuesa cómo acomuñar a cada númberu una socesión de díxitos, : ${\displaystyle 0.d_{1}d_{2}d_{3}\;\dots \;d_{\infty }}$

indexaos polos númberos hipernaturales. Anque nun alderica direutamente 0,999..., amuesa que'l númberu real 1/3 representáu por 0,333...;...333... de resultes del principiu de tresferencia. En particular, «0,333...;...000...» y «0,999...;...000...» nun correspuenden a nengún númberu.

Coles mesmes, el númberu hiperrreal ${\displaystyle \scriptstyle o_{H}\,=\,0,999\ldots ;\ldots 999000\ldots }$ col últimu díxitu 9 a un rangu infinitu hipernatural H, satisfai la desigualdá estricta ${\displaystyle \scriptstyle o_{H}<1}$. Subsecuentemente, Karin Katz y Mikhail Katz proponen una evaluación alternativa de «0,999...»:

${\displaystyle 0.\underbrace {999\;\ldots \;} _{H}\;=1\;-\;{\frac {1}{10^{H}}}}$^[53]

Toes estes interpretaciones asitien «0,999...» infinitamente cerca del 1. Ian Stewart caracteriza esta interpretación como una forma «absolutamente razonable» de xustificar rigorosamente la intuición de que «falta daqué bien pequeñu» ente 0,999... y 1....^[54] Xunto con Katz & Katz, Robert Ely tamién cuestiona'l camientu de que les idees de los estudiantes sobre'l fechu de que ${\displaystyle \scriptstyle 0,999\ldots \,<\,1}$ provengan d'intuiciones errónees alrodiu de los númberos reales, ya interpretaes como intuiciones «non estándar» que pueden apreciase dientro del aprendizaxe del cálculu.^[55][56]

La teoría de xuegos combinatorios apurre númberos alternativos a los reales; un exemplu bultable ye'l Hackenbush^[57] azul-negro infinitu. En 1974, Elwyn Berlekamp describió la correspondencia ente les cadenes Hackenbush y la espansión binaria de los númberos reales, motiváu pola idea de la compresión de datos. Nesti exemplu, el valor de la cadena Hackenbush LRRLRLRL... ye 0.010101₂... = ¹/₃, sicasí, el valor de LRLLL... (correspondiente a 0.111...₂) ye infinitesimalmente menor que 1. La diferencia ente los dos ye'l númberu surreal ¹/_ω, onde ω ye'l primer númberu ordinal infinitu; la representación correspondiente ye LRRRR... o 0.000...₂.^[58]

Esto dase de fechu na espansión binaria de munchos númberos racionales, onde'l valor de los númberos ye'l mesmu pero l'árbol de los caminos binarios correspondientes son distintos. Por casu, 0.10111...₂ = 0.11000...₂, son dambes iguales a 3/4, pero la primer representación correspuende al árbol del camín binariu LRLRRR... ente que la segunda correspuende al otru camín LRRLLL....

Nos casos en que la operación de sustracción nun tea definida, entós 1 − 0,999... a cencielles nun existe, y les pruebes daes más arriba dexen de ser válides. Estructures matemátiques nes que la operación aditiva ta definida pero non la operación de sustracción inclúin, por casu, semigrupos conmutativos, monoides conmutativos y semianillos. Richman considera dos d'estos sistemes, diseñaos de manera tal que 0,999... < 1.

De primeres, Richman define un númberu decimal non negativu como una espansión decimal lliteral. Define l'orde lexicográficu y la operación d'adición, notando que 0,999... < 1 a cencielles porque 0 < 1 nel llugar de les unidaes, pero pa cualesquier x non terminal, tiense 0,999... + x = 1 + x. Depués, una peculiaridá de los númberos decimales, ye que l'adición non siempres puede atayase; otra ye que nengún númberu decimal correspuende a ¹⁄₃. Dempués de definir la multiplicación, los númberos decimales formen un semianillo conmutativu positivu, totalmente ordenáu.^[59]

Nel procesu de definir la multiplicación, Richman tamién define otru sistema al que llama «corte D», que ye'l conxuntu de cortadures de Dedekind de les fracciones decimales. Pelo normal, esta definición lleva a los númberos reales, pero pa una fracción decimal d, Richman alteriar llixeramente dexando tantu la corte (−∞, d ) como la corte (−∞, d ], al que llama «corte principal». La resultancia ye que nun hai infinitesimales positivos nes cortadures D, pero hai «un tipu d'infinitesimal negativu» 0⁻ que nun tener espansión decimal.

Richman conclúi que 0,999... = 1 + 0⁻, ente que la ecuación «0,999... + x = 1» nun tien solución.^[60]

Al ser entrugaos alrodiu de 0,999..., los novatos de cutiu piensen que tien d'haber un «9 final», creen que 1 − 0,999... ye un númberu positivu que pueden escribir como «0,000...1». Tenga o nun tenga esto sentíu, l'oxetivu intuitivu ye claru: sumar 1 al postreru 9 en 0,999... acarreta tolos 9's a 0's y dexa 1 nel llugar de les unidaes. Ente otres razones, esta idea falla pos nun hai un postreru 9» en 0,999...^[61] Sicasí, esiste un sistema que contién una cola infinita de 9's incluyendo un postreru 9.

Los númberos p-ádicos ye un sistema de numberación alternativu d'interés en teoría de númberos. Como los númberos reales, los númberos p-ádicos pueden construyise a partir de los númberos racionales vía socesiones de Cauchy; la construcción utiliza una métrica distinta na cual 0 ta más cerca de p, y muncho más cerca de pⁿ que de 1. Los númberos p-ádicos formen un campu pa p primu y un aniellu pa otru p, incluyendo'l 10. Depués, l'aritmética ye posible nos p-ádicos, y nun hai infinitesimales.

Nos númberos 10-ádicos, los análogos de les espansiones decimales cuerren escontra la izquierda. La espansión 10-ádica ...999 tien un postreru 9, y nun tien un primera 9. Puede sumase un 1 al llugar de les unidaes, lo que dexa detrás solo 0's dempués del acarretu: 1 + ...999 = ...000 = 0, y asina ...999 = −1.^[62] Otra derivación utiliza series xeométriques. La serie infinita multiplicada por «...999» nun converxe nos númberos reales, pero converxe nos 10-ádicos, lo que dexa reutilizar la fórmula familiar:

${\displaystyle \ldots \;999=9+9(10)+9(10)^{2}+9(10)^{3}+\;\cdots ={\frac {9}{1-10}}=-1}$^[63]

Una tercer derivación foi inventada por una estudiante desconfiable del argumentu del so profesor basáu en llendes, pa probar que 0,999... = 1; inspirar de la prueba multiplicación por 10 na direición opuesta: si x = ...999 entós 10x =  ...990, depués 10x = x − 9, polo que x = −1 nuevamente.^[62]

Como última estensión, yá que 0,999... = 1 (nos reales) y ...999 = −1 (nos 10-ádicos), entós con fe ciega y manipulación descarada de símbolos»^[64] unu puede sumar les dos ecuaciones y llegar a ...999,999... = 0. Esta ecuación nun tien sentíu nin como espansión 10-ádica nin como espansión decimal ordinaria, pero resulta ser significativa y verdadera si desenvuélvese una teoría de dobles decimales» con, eventualmente, terminaciones repetitives a la izquierda pa representar un sistema bien conocíu: los númberos reales.^[65]

• Alligood, Sauer, and Yorke (1996). «4.1 Cantor Sets», Chaos: An introduction to dynamical systems. Springer. ISBN 0-387-94677-2.
• Apostol, Tom M. (1974). Mathematical analysis, 2y, Addison-Wesley. ISBN 0-201-00288-4.
• Bartle, R.G. and D.R. Sherbert (1982). Introduction to real analysis. Wiley. ISBN 0-471-05944-7.
• Beals, Richard (2004). Analysis. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2.
• Berlekamp, Y.R.; J.H. Conway; and R.K. Guy (1982). Winning Ways for your Mathematical Plays. Academic Press. ISBN 0-12-091101-9.
• «Automatic differentiation as nonarchimedean analysis». Computer Arithmetic and Enclosure Methods. 
• Bunch, Bryan H. (1982). Mathematical fallacies and paradoxes. Van Nostrand Reinhold. ISBN 0-442-24905-5.
• Burrell, Brian (1998). Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster. ISBN 0-87779-621-1.
• Byers, William (2007). How Mathematicians Think: Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create Mathematics. Princeton UP. ISBN 0-691-12738-7.
• Conway, John B. (1978). Functions of one complex variable I, 2y, Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• Davies, Charles (1846). The University Arithmetic: Embracing the Science of Numbers, and Their Numerous Applications. A.S. Barnes.
• DeSua, Frank C. (payares de 1960). «A system isomorphic to the reals». The American Mathematical Monthly 67 (9):  páxs. 900–903. doi:10.2307/2309468. 
• Dubinsky, Ed, Kirk Weller, Michael McDonald, and Anne Brown (2005). «Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: an APOS analysis: part 2». Educational Studies in Mathematics 60:  páxs. 253–266. doi:10.1007/s10649-005-0473-0. 
• Edwards, Barbara and Michael Ward (mayu de 2004). «Surprises from mathematics education research: Student (los mios)use of mathematical definitions». The American Mathematical Monthly 111 (5):  páxs. 411–425. doi:10.2307/4145268. http://www.wou.edu/~wardm/FromMonthlyMay2004.pdf. 
• Enderton, Herbert B. (1977). Elements of set theory. Elsevier. ISBN 0-12-238440-7.
• Euler, Leonhard (1822). John Hewlett and Francis Horner, English translators.: Elements of Algebra, 3rd English, Orme Longman. ISBN 0387960147.
• Fjelstad, Paul (xineru de 1995). «The repeating integer paradox». The College Mathematics Journal 26 (1):  páxs. 11–15. doi:10.2307/2687285. 
• Gardiner, Anthony (2003). Understanding Infinity: The Mathematics of Infinite Processes. Dover. ISBN 0-486-42538-X.
• Gowers, Timothy (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford UP. ISBN 0-19-285361-9.
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.
• Griffiths, H.B.; Hilton, P.J. (1970). A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation. Londres: Van Nostrand Reinhold. ISBN 0-442-02863-6.
• «When is .999… less than 1?». The Montana Mathematics Enthusiast 7 (1):  páxs. 3–30. 2010a. http://www.math.umt.edu/TMME/vol7non1/. 
• Kempner, A.J. (avientu de 1936). «Anormal Systems of Numeration». The American Mathematical Monthly 43 (10):  páxs. 610–617. doi:10.2307/2300532. 
• Komornik, Vilmos; and Paola Loreti (1998). «Unique Developments in Non-Integer Bases». The American Mathematical Monthly 105 (7):  páxs. 636–639. doi:10.2307/2589246. 
• Leavitt, W.G. (1967). «A Theorem on Repeating Decimals». The American Mathematical Monthly 74 (6):  páxs. 669–673. doi:10.2307/2314251. 
• Leavitt, W.G. (setiembre de 1984). «Repeating Decimals». The College Mathematics Journal 15 (4):  páxs. 299–308. doi:10.2307/2686394. 
• Lewittes, Joseph. «Midy's Theorem for Periodic Decimals». New York Number Theory Workshop on Combinatorial and Additive Number Theory. arXiv.
• Lightstone, A.H. (marzu de 1972). «Infinitesimals». The American Mathematical Monthly 79 (3):  páxs. 242–251. doi:10.2307/2316619. 
• Mankiewicz, Richard (2000). The story of mathematics. Cassell. ISBN 0-304-35473-2.
• Maor, Eli (1987). To infinity and beyond: a cultural history of the infinite. Birkhäuser. ISBN 3-7643-3325-1.
• Mazur, Joseph (2005). Euclid in the Rainforest: Discovering Universal Truths in Logic and Math. Pearson: Pi Press. ISBN 0-13-147994-6.
• Munkres, James R. (2000). Topology, 2y, Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• «Do Real Numbers Really Move? Language, Thought, and Gesture: The Embodied Cognitive Foundations of Mathematics». 18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics. ISBN 978-0-387-25717-4. Archivado del original el 2011-07-18. 
• Pedrick, George (1994). A First Course in Analysis. Springer. ISBN 0-387-94108-8.
• Peressini, Anthony; Peressini, Dominic (2007). «Philosophy of Mathematics and Mathematics Education», Bart van Kerkhove, Jean Paul van Bendegem: Perspectives on Mathematical Practices 5. Springer. ISBN 978-1-4020-5033-6.
• Petkovšek, Marko (mayu de 1990). «Ambiguous Numbers are Dense». American Mathematical Monthly 97 (5):  páxs. 408–411. doi:10.2307/2324393. 
• «Following students' development in a traditional university analysis course». PME25. 
• Protter, M.H. and C.B. Morrey (1991). A first course in real analysis, 2y, Springer. ISBN 0-387-97437-7.
• Pugh, Charles Chapman (2001). Real mathematical analysis. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95297-7.
• Renteln, Paul and Allan Dundes (xineru de 2005). «Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor». Notices of the AMS 52 (1):  páxs. 24–34. http://www.ams.org/notices/200501/fea-dundes.pdf. Consultáu'l 3 de mayu de 2009. 
• Richman, Fred (avientu de 1999). «Is 0.999… = 1?». Mathematics Magazine 72 (5):  páxs. 396–400.  Free HTML preprint: Richman, Fred (8 de xunu de 1999). «Is 0.999… = 1?». Archiváu dende l'orixinal, el 3 de febreru de 2006. Consultáu'l 23 d'agostu de 2006. Note: the journal article contains material and wording not found in the preprint.
• Robinson, Abraham (1996). Non-standard analysis, Revised, Princeton University Press. ISBN 0-691-04490-2.
• Rosenlicht, Maxwell (1985). Introduction to Analysis. Dover. ISBN 0-486-65038-3.
• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis, 3y, McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Shrader-Frechette, Maurice (marzu de 1978). «Complementary Rational Numbers». Mathematics Magazine 51 (2):  páxs. 90–98. 
• Smith, Charles and Charles Harrington (1895). Arithmetic for Schools. Macmillan.
• Sohrab, Houshang (2003). Basic Real Analysis. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4211-0.
• Stewart, Ian (1977). The Foundations of Mathematics. Oxford UP. ISBN 0-19-853165-6.
• Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. ISBN 978-1-84668-292-6.
• Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals, 4y, Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
• D.O. Tall and R.L.Y. Schwarzenberger (1978). «Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits». Mathematics Teaching 82:  páxs. 44–49. http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1978c-with-rolph.pdf. Consultáu'l 3 de mayu de 2009. 
• Tall, David (1976/7). «Conflicts and Catastrophes in the Learning of Mathematics». Mathematical Education for Teaching 2 (4):  páxs. 2–18. http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1976a-confl-catastrophy.pdf. Consultáu'l 3 de mayu de 2009. 
• Tall, David (2000). «Cognitive Development In Advanced Mathematics Using Technology». Mathematics Education Research Journal 12 (3):  páxs. 210–230. http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001b-merj-amt.pdf. Consultáu'l 3 de mayu de 2009. 
• von Mangoldt, Dr. Hans (1911). «Reihenzahlen», Einführung in die höhere Mathematik, 1st (n'alemán), Leipzig: Verlag von S. Hirzel.
• Wallace, David Foster (2003). Everything and more: a compact history of infinity. Norton. ISBN 0-393-00338-8.

• Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a 0,9 periódicu.