Tresformada de Fourier

La tresformada de Fourier, denomada asina por Joseph Fourier, ye una tresformamientu matemáticu emplegada pa tresformar señales ente'l dominiu del tiempu (o espacial) y el dominiu de la frecuencia, que tien munches aplicaciones na física y la inxeniería. Ye reversible, siendo capaz de tresformase en cualesquier de los dominios al otru. El mesmu términu refierse tanto a la operación de tresformamientu como a la función que produz.

Nel casu d'una función periódica nel tiempu (por casu, un soníu musical continuu pero non necesariamente sinusoidal), la tresformada de Fourier puede simplificase pal cálculu d'un conxuntu discretu d'amplitúes complexes, llamáu coeficientes de les series de Fourier. Ellos representen l'espectru de frecuencia de la señal del dominiu-tiempu orixinal.

La tresformada de Fourier ye una aplicación que fai corresponder a una función ${\displaystyle f}$ con otra función ${\displaystyle g}$ definida de la manera siguiente:

${\displaystyle g(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)y^{-i\xi \,x}dx}$

Onde ${\displaystyle f}$ ye ${\displaystyle \displaystyle {L^{1}}}$, esto ye, ${\displaystyle f}$ tien que ser una función integrable nel sentíu de la integral de Lebesgue. El factor, qu'acompaña la integral en definición facilita l'enunciáu de dalgunos de los teoremas referentes a la tresformada de Fourier. Anque esta forma de normalizar la tresformada de Fourier ye la más comúnmente adoptada, nun ye universal. Na práutica les variables ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle \xi }$ suelen tar acomuñaes a dimensiones como'l tiempu segundos— y frecuencia —herzios— respeutivamente, si utiliza la fórmula alternativa:

${\displaystyle g(\xi )={\sqrt {\frac {\beta }{2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)y^{-i\beta \xi \,x}dx}$

la constante ${\displaystyle \beta }$ ataya les dimensiones acomuñaes a les variables llogrando un esponente adimensional.

La tresformada de Fourier asina definida gocia d'una serie de propiedaes de continuidá que garanticen que puede estendese a espacios de funciones mayores ya inclusive a espacios de funciones xeneralizaes.

Les sos aplicaciones son munches, n'árees de la ciencia ya inxeniería como la física, la teoría de los númberos, la combinatoria, el procesamientu de señales (electrónica), la teoría de la probabilidá, la estadística, la óptica, la espardimientu d'ondes y otres árees. En procesamientu de señales la tresformada de Fourier suel considerase como la descomposición d'una señal en componentes de frecuencies distintes, esto ye, ${\displaystyle g}$ correspuende al espectru de frecuencies de la señal ${\displaystyle f}$.

La caña de la matemática qu'estudia la tresformada de Fourier y les sos xeneralizaciones ye denomada analís harmónicu.

Son delles les notaciones que s'utilicen pa la tresformada de Fourier de ${\displaystyle f}$. He equí dalgunes d'elles:

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f],{\hat {f}},F(f),{\mathcal {F}}\{f\}}$.

La tresformada de Fourier ye básicamente l'espectru de frecuencies d'una función. Un bon exemplu d'eso ye lo que fai l'oyíu humanu, yá que recibe una onda auditiva y tresformar nuna descomposición en distintes frecuencies (que ye lo que finalmente s'escucha). L'oyíu humanu va percibiendo distintes frecuencies a midida que pasa'l tiempu, sicasí, la tresformada de Fourier contién toles frecuencies del tiempu mientres el cual esistió la señal; esto ye, na tresformada de Fourier llógrase un namái espectru de frecuencies pa tola función.

Sía ${\displaystyle f}$ una función Lebesgue integrable:

${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

La tresformada de Fourier de ${\displaystyle f}$ye la función

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}\ \ :\xi \mapsto {\hat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ y^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$

Esta integral tien sentíu, pos l'integrando ye una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la tresformada de Fourier${\displaystyle F(f)}$ ye una función acutada. Amás per mediu del teorema de converxencia apoderada puede demostrase que ${\displaystyle F(f)}$ ye continua.

La tresformada de Fourier inversa d'una función integrable ${\displaystyle f}$ ta definida por:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{{\hat {f}}\}=f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ y^{2\pi i\xi x}\,d\xi ,}$

Nótese que la única diferencia ente la tresformada de Fourier y la tresformada de Fourier inversa ye'l signu negativu nel esponente del integrando. El teorema d'inversión de Fourier formuláu embaxo xustifica'l nome de tresformada de Fourier inversa dau a esta tresformada. El signu negativu nel esponente del integráu indica la traspolación de complementos yustapuestos. Estos complementos pueden ser analizaos al traviés de l'aplicación de la varianza pa cada función.

La tresformada de Fourier ye una aplicación llinial:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{a\cdot f+b\cdot g\}=a\,{\mathcal {F}}\{f\}+b\,{\mathcal {F}}\{g\}.}$

Valen les siguientes propiedaes pa una función absolutamente integrable ${\displaystyle f}$:

• Cambéu d'escala:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(at)\}(\xi )={\frac {1}{|a|}}\cdot {\mathcal {F}}\{f\}{\bigg (}{\frac {\xi }{a}}{\bigg )}}$

• Traslación:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t-a)\}(\xi )=y^{-2\pi i\xi a}\cdot {\mathcal {F}}\{f\}(\xi )}$

• Traslación na variable tresformada:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}(\xi -a)={\mathcal {F}}\{y^{2\pi iat}f(t)\}(\xi )}$

• Tresformada de la derivada: Si ${\displaystyle f}$ y la so derivada son integrables, :${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'\}(\xi )=2\pi i\xi \cdot {\mathcal {F}}\{f\}(\xi )}$
• Derivada de la tresformada: Si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle t}$ → ${\displaystyle f(t)}$ son integrables, la tresformada de Fourier ${\displaystyle F(f)}$ ye diferenciable

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}'(\xi )={\mathcal {F}}\{(-it)\cdot f(t)\}(\xi )}$

Estes identidaes demostrar por un cambéu de variables o integración por partes.

No que sigue, definimos la convolución de dos funciones ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ na recta de la manera siguiente:

${\displaystyle (f*g)(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(y)\cdot g(x-y)\,dy.}$

Nuevamente la presencia del factor delantre de la integral simplifica l'enunciáu de los resultaos como'l que sigue: Si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son funciones absolutamente integrables, la convolución tamién ye integrable, y vale la igualdá:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$

Tamién puede enunciase un teorema análogu pa la convolución na variable tresformada, :${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}*{\mathcal {F}}\{g\}.}$ pero esti esixe ciertu cuidu col dominiu de definición de la tresformada de Fourier.

En delles ocasiones define la tresformada con un factor multiplicativu distintu de ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$, siendo frecuente n'inxeniería l'usu d'un factor unidá na tresformada direuta y un factor de ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2\pi }}}$ na tresformada inversa. De siguío se llista una tabla de funciones y les sos tresformaes de Fourier con un factor unidá. Si deseyar utilizar otru factor, namái tien de multiplicar la segunda columna por esi factor.

Función	Tresformada
${\displaystyle \delta (t)\!}$	${\displaystyle 1\!}$
${\displaystyle o(t)\!}$ (Función unitaria de Heaviside)	${\displaystyle 1/2(\delta (f)+1/(i\pi f))\!}$
${\displaystyle \sin(w_{0}t)\!}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{i}}[\delta (w-w_{0})-\delta (w+w_{0})]\!}$
${\displaystyle \cos(w_{0}t)\!}$	${\displaystyle \pi [\delta (w-w_{0})+\delta (w+w_{0})]\!}$
${\displaystyle 1\!}$	${\displaystyle \delta (f)=2\pi \delta (w)\!}$
${\displaystyle y^{-at}o(t),\quad \mathrm {Re} (a)>0\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{a+iw}}\!}$
${\displaystyle y^{-a|t|}}$	${\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+w^{2}}}\!}$
${\displaystyle te^{-at}o(t),\quad \mathrm {Re} (a)>0\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{(a+iw)^{2}}}\!}$
${\displaystyle {\begin{cases}\cos w_{0}x&|x|\leq A\\0&|x|>A\end{cases}}}$	${\displaystyle {\frac {\sin A(w-w_{0})}{2\pi (w-w_{0})}}+{\frac {\sin A(w+w_{0})}{2\pi (w+w_{0})}}}$
${\displaystyle x(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}|t|<T_{1}\\0,&{\mbox{si }}|t|>T_{1}\end{cases}}\!}$	${\displaystyle 2T_{1}\mathrm {sinc} \left({\frac {wT_{1}}{\pi }}\right)=2{\frac {\sin(wT_{1})}{w}}}$
${\displaystyle x(t)=\mathrm {tri} \left({\frac {t}{2T_{1}}}\right)={\begin{cases}1-{\frac {|t|}{T_{1}}},&{\mbox{si }}|t|<T_{1}\\0,&{\mbox{si }}|t|>T_{1}\end{cases}}\!}$	${\displaystyle \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {wT_{1}}{\pi }}\right)}$
${\displaystyle x(t)=y^{-t^{2}/a^{2}},\quad \mathrm {Im} (a)=0\!}$	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}y^{-a^{2}w^{2}/4}}$
${\displaystyle y^{-at^{2}}}$	${\displaystyle \surd {\frac {\pi }{a}}y^{-w^{2}/4a}}$

La idea básica del teorema d'inversión ye que dada una función ${\displaystyle f}$, la tresformada de Fourier inversa aplicada a la tresformada de Fourier de ${\displaystyle f}$ resulta na mesma función orixinal, en símbolos:

${\displaystyle (1)\quad {\check {\hat {f}}}=f\quad }$

Sicasí, la resultancia formulada d'esta forma nun ye siempres válidu, porque'l dominiu de la tresformada de Fourier como lo definimos nel primer párrafu d'esti artículu nun ye invariante, esto ye que la tresformada de Fourier d'una función integrable nun ye necesariamente integrable.

Pa formular el teorema d'inversión precisamos atopar espacios de funciones que sían invariantes so la tresformada de Fourier. Ello ye que hai numberoses posibilidaes, la más natural del puntu de vista téunicu siendo'l espaciu de Schwartz de funciones φ rápido decrecientes. Sicasí equí tomamos un camín más direutu pa formular un enunciáu:

Teorema. L'espaciu de funciones complexes ${\displaystyle f}$ definíes na recta tales que${\displaystyle f}$ y la tresformada de Fourier de ${\displaystyle f}$ sían integrables, ye invariante tantu pola tresformada de Fourier que pola tresformada de Fourier inversa. Amás pa una función ${\displaystyle f}$ nesti espaciu, vale'l teorema d'inversión (1).

Otra posibilidá pa formular un teorema d'inversión encontar nel fechu de que la tresformada de Fourier tien munches estensiones naturales.

L'espacio de Schwartz consiste de les funciones φ tomando valores complexos, definíes en ℝ ya infinitamente diferenciables tales que pa tou ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ enteros non negativos

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }|x^{m}\varphi ^{(n)}(x)|<\infty ,}$

onde φ⁽ⁿ⁾ ye la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espaciu de Schwartz pol símbolu ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

Teorema

Tantu la tresformada de Fourier como la tresformada de Fourier inversa son aplicaciones lliniales

${\displaystyle {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {S}}.}$

Amás val la fórmula d'inversión:

${\displaystyle {\check {\hat {f}}}=f,\quad f\in {\mathcal {S}}.}$

L'espaciu de Schwartz ye invariante con al respective de los operadores diferenciales con coeficientes polinomiales, ye dicir de la forma :${\displaystyle [T\varphi ](x)=\sum _{k=0}^{m}P_{k}(x){\bigg (}{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}\varphi (x).}$ onde P_k son polinomios.

Por cuenta de les propiedaes

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {d\varphi }{dx}}\right\}(\xi )=i\xi \cdot {\mathcal {F}}\{\varphi \}(\xi )\quad }$

y :${\displaystyle {\mathcal {F}}\{-ix\cdot \varphi (x)\}(\xi )={\frac {d}{d\xi }}{\bigg (}{\mathcal {F}}\{\varphi \}(\xi ){\bigg )},}$ la tresformada de Fourier ye una ferramienta bien importante pal estudiu de les ecuaciones diferenciales tantu pa la teoría como pal so resolución práuticu.

Por cuenta de que les "funciones base" y^ikx son homomorfismos de la llinia real (más concretamente, del "grupu del círculu") tenemos ciertes identidaes útiles:

1. Si ${\displaystyle g(x)=f(x-y)}$ entós ${\displaystyle {\hat {g}}(k)=y^{-iky}{\hat {f}}(k)}$
2. La tresformada de Fourier ye un morfismo:

${\displaystyle {\widehat {(f*g)}}(k)={\hat {f}}(k)\cdot {\hat {g}}(k)}$

Esto ye, la tresformada de Fourier d'una convolución ye'l productu de les tresformaes de Fourier.

La tresformada de Fourier utilizar pa pasar una señal al dominiu de frecuencia p'asina llograr información que nun rescampla nel dominiu temporal. Por casu, ye más fácil saber sobre qué anchu de banda concéntrase la enerxía d'una señal analizándola nel dominiu de la frecuencia.

La tresformada tamién sirve pa resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidá y, poro, úsase pal diseñu de controladores clásicos de sistemes realimentados, si conocemos la densidá espectral d'un sistema y la entrada podemos conocer la densidá espectral de la salida. Esto ye bien útil pal diseñu de filtros de radiotransistores.

La tresformada de Fourier tamién s'utiliza nel ámbitu del tratamientu dixital d'imáxenes, como por casu p'ameyorar o definir más ciertes zones d'una imaxe fotográfica o tomada con un ordenador, vease ondícula (wavelet).

Definíu'l productu angular ente funciones de la siguiente manera:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)g(x)\ dx\quad }$

la tresformada de Fourier puede entendese como'l productu angular ente la función ${\displaystyle x(t)}$ y l'esponencial complexa ${\displaystyle y^{i2\pi \,ft}}$ evaluáu sobremanera'l rangu de frecuencies ${\displaystyle f}$. Pola interpretación avezada del productu angular, naquelles frecuencies nes que la tresformada tien un valor mayor, más paecíu tien ${\displaystyle x(t)}$ con una esponencial complexa.

• Óptica de Fourier
• Tresformada de Fourier discreta
• Tresformada de Laplace
• Ondícula

• Wikiversidá contién proyeutos d'aprendizaxe sobre Tresformada de Fourier.

• Fourier Java Applet
• Tables of Integral Transforms n'inglés.
• Tresformada de Fourier por John H. Mathews
• The DFT “à Pied”: Enseñando la tresformada de Fourier nun día en The DSP Dimension (Inglés).