Teorema de los númberos primos

Teorema de los númberos primos
teorema

En teoría de númberos el teorema de los númberos primos ye un enunciáu que describe la distribución asintótica de los númberos primos. Esti teorema da una descripción xeneral de cómo tán distribuyíos los númberos primos nel conxuntu de los númberos naturales. Esto formaliza la idea intuitiva de que los primos son menos comunes cuanto más grandes son. Ye unu de los teoremas más importantes de la historia de les matemátiques, non solo pola so guapura sinón pola so influencia nel desenvolvimientu posterior de la investigación de los númberos primos.^[1]

El teorema tamién ye conocíu como teorema del númberu primu^[2] o teorema del númberu de primos.

Sía ${\displaystyle \pi (x)\,}$ la función contador de númberos primos, que denota la cantidá de primos que nun entepasen a ${\displaystyle x\,}$. El teorema establez que:^[3]

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}}$, onde ${\displaystyle \ln(x)}$ ye'l llogaritmu natural de ${\displaystyle x}$.

Esta espresión nun implica que la diferencia de les dos partes de la mesma pa valores de ${\displaystyle x}$ bien grandes sía cero; namái implica que'l cociente d'éstes pa valores de ${\displaystyle x\,}$ bien grandes ye casi igual a 1.

Un meyor aproximamientu que l'anterior vien dada pola integral logarítmica movida:

${\displaystyle \pi (x)\approx \operatorname {Li} (x)}$ , onde ${\displaystyle \operatorname {Li} (x)}$ ye la integral logarítmica movida de ${\displaystyle x}$.

En 1792 o 1793,^[4] tando entá nel Collegium Carolinum, y siempres según el mesmu Gauss («ins Jahr 1792 oder 1793»),^[5] este anotó na so llibreta de notes:

«Númberos primos menores que a (= ∞) a/la» qu'en llinguaxe modernu quier dicir que π(a) pa valores cada vez más grandes averar al cociente a/lna) y considérase como "la primer conxetura del Teorema de los númberos primos". Amás la función π(x) qu'indica la cantidá de númberos primos que nun superen a x foi definida por Gauss.^[6]

El teorema de los númberos primos tamién foi conxeturáu por Adrien-Marie Legendre en 1798, indicando que π(x) paecía tener la forma a/(A ln(a) + B), onde A y B son constantes ensin especificar. Na segunda edición del so llibru de teoría de númberos (1808) él fixo una conxetura más precisa, indicando que A = 1 y B = −1.08366.^[7] La conxetura foi darréu refinada por Gauss cola espresión que, anguaño, acomúñase más frecuentemente al teorema. Emprestaron contribuciones significatives sobre esta proposición Legendre, Gauss, Dirichlet, Chebychev y Riemann.^[7]

La demostración formal del teorema facer de forma independiente tantu Jacques Hadamard como Charles-Jean de la Vallée Poussin nel añu 1896. Dambes demostraciones basar na resultancia de que la función zeta de Riemann ${\displaystyle \zeta (z)\,}$ nun tien ceros de la forma 1 + it con t > 0. En realidá la demostración fixo sobre una espresión daqué más estricta de lo que s'indica na definición anterior del teorema, siendo la espresión demostrada por Hadamard y Poussin la siguiente:

${\displaystyle \pi (x)\approx {\mbox{Li}}(x)}$

onde

${\displaystyle {\mbox{Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dy}{\ln(y)}}}$.

Dende 1896 la espresión acomuñada al teorema de los númberos primos foi ameyorada socesivamente, siendo'l meyor aproximamientu actual la dada por:

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\,\exp \left(-{\frac {A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}}}\right)\right)}$

onde ${\displaystyle O(f(x))\,}$ defínese como la función asintótica a ${\displaystyle f(x)\,}$ y ${\displaystyle A\,}$ ye una constante indeterminada.

Pa valores de ${\displaystyle x\,}$ pequeños demostrárase que ${\displaystyle \pi (x)<{\mbox{Li}}(x)\,}$, lo que llevó a conxeturar a dellos matemáticos na dómina de Gauss que ${\displaystyle {\mbox{Li}}(x)\,}$ yera una cota cimera estricta de ${\displaystyle \pi (x)\,}$ (esto ye que la ecuación ${\displaystyle \pi (x)-{\mbox{Li}}(x)=0\,}$ nun tien soluciones reales). Sicasí, en 1912 J. Y. Littlewood demostró que dicha cota ye cruciada pa valores de ${\displaystyle x\,}$ abondo grandes. El primeru d'ellos conozse como primer númberu de Skewes, y anguaño sábese que ye inferior a ${\displaystyle \scriptstyle 10^{317}\,}$, anque se piensa que pue ser inferior inclusive a ${\displaystyle \scriptstyle 10^{176}\,}$. En 1914 Littlewood amplió la so demostración cola inclusión de múltiples soluciones a la ecuación ${\displaystyle \pi (x)-{\mbox{Li}}(x)=0\,}$. Munchos d'estos valores y afayos tán acomuñaos a la validez de la hipótesis de Riemann.

Dada la conexón qu'hai ente la función zeta de Riemann ζ(s) y π(x), la hipótesis de Riemann ye bien importante en teoría de númberos, y de xacíu, nel teorema de los númberos primos.

Si la hipótesis de Riemann cumplir, entós el términu error qu'apaez nel teorema de los númberos primos puede acutase de la meyor manera posible. Concretamente, Helge von Koch demostró en 1901 que

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right).}$

si y namái si la hipótesis de Riemann cumplir. Una variante refinada de la resultancia de Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que la hipótesis de Riemann ye equivalente a la siguiente resultancia:

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln(x),\qquad {\text{pa tou }}x\geq 2657.}$

De resultes del teorema de los númberos primos, llógrase una espresión asintótica pal enésimu númberu primu, denotado por p_n:

${\displaystyle p_{n}\approx n\ln n.}$

Un aproximamientu meyor ye:

${\displaystyle p_{n}=n\ln n+n\ln \ln n+{\frac {n}{\ln n}}{\big (}\ln \ln n-\ln n-2{\big )}+O\left({\frac {n(\ln \ln n)^{2}}{(\ln n)^{2}}}\right).}$^[8]

Sía ${\displaystyle \pi _{n,a}(x)}$ la función que denota el númberu de primos nuna progresión aritmética a, a + n, a + 2n, a + 3n, … menor que x. Dirichlet y Legendre conxeturaron, y Vallée-Poussin demostró, que, si a y n son coprimos, entós

${\displaystyle \pi _{n,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (n)}}\mathrm {Li} (x),}$.

onde φ(·) ye la función φ de Euler. N'otres pallabres, los númberos primos distribúyense uniformemente ente los residuos de clases [a] módulu n con mcd(a, n) = 1. Esto puede demostrase usando métodos similares utilizaos por Newman na so demostración del teorema de los númberos primos.^[9]

El teorema de Siegel–Walfisz da una bona estimación de la distribución de los númberos primos nes residuos de clases.

Anque tenemossobremanera, que

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)\sim \pi _{4,3}(x),\,}$.

empíricamente los primos congruentes con 3 son más numberosos y tán casi siempres en delantre nesta carrera de númberos primos», la primer inversión producir en x = 26,861.^[10]:1–2 Sicasí, Littlewood amosó en 1914^[10]:2 qu'hai un númberu infinitu de cambeos de signu de la función

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x),\,}$

de manera que'l lideralgu d'esta carrera camuda socesivamente infinites vegaes. El fenómenu de que π_4,3(x) ta per delantre la mayor parte del tiempu llámase polarización de Chebyshev. La carrera de los númberos primos xeneralizada a otros módulos ye oxetu de numberoses investigaciones; Pál Turán preguntó si dase siempres el casu de que π(x;a,c) y π(x;b,c) camuden posiciones cuando a y b son coprimos con c.^[11] Granville y Martin dan-y una esposición completa y estudiada.^[10]

• Dorian Goldfeld. «The elementary proof of the prime number theorem:An historical perspective» (inglés). Consultáu'l 10 de febreru de 2011.

• Weisstein, Eric W. «Prime Number Theorem» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Plantía:Planetmath reference