Númberu natural

Númberu natural
	término matemático (es)

Los númberos naturales pueden usase pa cuntar (una mazana, dos manzanes, tres manzanes, …).

En matemátiques, un númberu natural ye cualesquier de los númberos que s'usen para cuntar los elementos de ciertos conxuntos,^[1]^[2] como tamién n'operaciones elementales de cálculu. Son aquellos númberos naturales que sirven pa cuntar elementos polo que son enteros por casu: 1,2,3,4,5,6,7,8,9...∞ Por definición convencional va dicise que cualquier miembru del siguiente conxuntu, ℕ = {1, 2, 3, 4, …}, ye un númberu natural.^[2] De dos númberos vecinos cualesquier, el que s'atopa a la derecha llámase siguiente o socesivu,^[3] polo que'l conxuntu de los númberos naturales ye ordenáu ya infinitu.

El conxuntu de tolos númberos naturales iguales o menores que ciertu númberu natural $k$ , esto ye, el conxuntu $\{1,2,\dots ,k-1,k\}$ , llámase segmentu d'una socesión natural y se denota $|1,k|$ o bien $[k]$ .^[3]

Convenios de notación

Yá que los númberos naturales utilizar pa cuntar elementos, el cero puede considerase'l númberu que correspuende a l'ausencia de los mesmos; dependiendo del área de la ciencia, el conxuntu de los númberos naturales puede presentase entós de dos maneres distintes:

Definición ensin el cero:

$\mathbb {N} =\{1,2,3,4,\cdots \}$

Definición col cero:

$\mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,\cdots \}$

onde la ℕ de natural suelse escribir en "negrina de cayuela".

Históricamente l'usu del cero como numberal foi introducíu n'Europa nel sieglu XII. Esto nun quier dicir qu'antes non s'utilizara'l númberu cero como numberal, yá que cola invención del sistema de numberación Hindi (na India) incluyóse'l númberu cero como numberal. Col tiempu, esti sistema de numberación tamién foi usáu polos árabes; d'esti fechu vien que pasara de llamase sistema de numberación Hindi a denominase sistema de numberación arábigu-índicu. Cola conquista musulmana de la península ibérica nel sieglu XII, el sistema de numberación arábigu-índicu empezó a usase n'Europa y pasó a llamase sistema de numberación arábigu-índicu occidental o sistema de numberación decimal, que inclúi'l cero como numberal, pero aun así nun se consideraba a esti como un númberu natural.

Sicasí, col desenvolvimientu de la teoría de conxuntos nel sieglu XIX, el cero incluyir nes definiciones conjuntistas de los númberos naturales. Esta convención prevalez en dicha disciplina,^[4] y otres, como la teoría de la computación.^[5] En particular, l'estándar DIN 5473 adopta esta definición.^[5] Sicasí, na actualidá dambos convenios conviven.^[6]

Pa estremar dambes definiciones dacuando introdúcense símbolos distintos. Por casu, si nun s'inclúi'l cero nos naturales, al conxuntu de los númberos naturales ensin el cero llamar conxuntu de los enteros positivos y se lo denota como $ℕ *$ . Alternativamente tamién s'utiliza $ℕ \ {0$ }.^[7]

Otra manera, cuando'l 0 considérase un númberu natural (cosa que ye conveniente, por casu, en divisibilidad y teoría de númberos), al conxuntu de los naturales col cero llamar conxuntu de los númberos cardinales y se lo denota $ℕ 0$ .

Historia

Primero que surdieren los númberos naturales pa la representación de cantidaes, l'home usó otros métodos pa cuntar, utilizando pa ello oxetos como piedres, palitos de madera, nuedos de cuerdes, o a cencielles los deos (ver sistema de numberación unario). Más palantre empezaron a apaecer los símbolos gráficos como señales pa cuntar, por casu marques nuna vara o a cencielles trazos específicos sobre'l sable (vease güesu d'Ishango). Pero foi en Mesopotamia alredor del añu 4000 e. C. onde apaecen les primeres muertes de los númberos que consistieron en grabaos de señales en forma de cuñas sobre pequeños tableros de magre emplegando pa ello un palito aguyáu. D'equí'l nome d'escritura cuneiforme. Esti sistema de numberación foi adoptáu más tarde, anque con símbolos gráficos distintos, na Grecia Antigua y na Antigua Roma. Na Grecia antigua emplegábense a cencielles les lletres de la so alfabetu, ente que na antigua Roma, amás de les lletres, utilizáronse dellos símbolos.

Quien asitió al conxuntu de los númberos naturales sobre lo qu'empezaba a ser una base sólida,foi Richard Dedekind nel sieglu XIX. Esti derivar d'una serie de postulaos (lo qu'implicaba que la esistencia del conxuntu de númberos naturales dar por cierta), que dempués precisó Peano dientro d'una lóxica de segundu orde, resultando asina los famosos cinco postulaos que lleven el so nome. Frege foi cimeru a dambos, demostrando la esistencia del sistema de númberos naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por dicir, la so credibilidá, y hubo que buscar un nuevu métodu. Foi Zermelo quien demostró la esistencia del conxuntu de númberos naturales, dientro de la so teoría de conxuntos y principalmente por aciu l'usu del axoma de infinitud, que, con un cambéu d'esti fecha por Adolf Fraenkel, dexa construyir el conxuntu de númberos naturales como ordinales según von Neumann.

Delles carauterístiques de los númberos naturales son:

Tou númberu mayor que 1 (o mayor que 0 en casu de considerar el 0 como natural) va dempués d'otru númberu natural.
Ente dos númberos naturales siempres hai un númberu finito de naturales (interpretación de conxuntu non trupu).
Dau un númberu natural cualesquier, siempres esiste otru natural mayor qu'esti (interpretación de conxuntu infinitu).
Ente'l númberu natural $a$ y el so socesor $a+1$ nun esiste nengún númberu natural.

Construcciones axomátiques

Históricamente, realizáronse propuestes pa axiomatizar la noción habitual de númberos naturales, d'ente les que destaquen les de Peano y la construcción a partir de la teoría de conxuntos.

Axomes de Peano

Si n ye un númberu natural, entós el socesor de n tamién ye un númberu natural.
El 1 nun ye'l socesor de nengún númberu natural.
Si hai dos númberos naturales n y m col mesmu socesor, entós n y m son el mesmu númberu natural.
Si'l 1 pertenez a un conxuntu de númberos A, y amás siempres se verifica que: dau un númberu natural cualesquier que tea en A, el so socesor tamién pertenez a A; entós A contién al conxuntu de tolos númberos naturales. Este ye l'axoma d'inducción, que prinda la idea d'inducción matemática.

Versión de Bush-Obreanu

El sistema de Peano foi simplificáu.^[8]

Definición en teoría de conxuntos

En teoría de conxuntos definir al conxuntu de los númberos naturales como'l mínimu conxuntu que ye inductivu. La idea ye que pueda cuntase faciendo una biyección dende un númberu natural hasta'l conxuntu d'oxetos que quier cuntase. Esto ye, pa dar la definición de númberu 2, ríquese dar un exemplu d'un conxuntu que contenga precisamente dos elementos. Esta definición foi apurrida por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propunxo que'l candidatu pa 2 fuera'l conxuntu que contién solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conxuntu $x$ dizse que ye un númberu natural si cumple # Pa cada $y \in x$ , $y \subseteq x$

La rellación $\in x = {(a, b) \in x • x | a \in b$ } ye un orde total estrictu en $x$
Tou subconxuntu non vacíu de $x$ tien elementos mínimu y máximu nel orde $\in x$

Inténtase pos, definir un conxuntu de númberos naturales onde cada elementu respete les convenciones anteriores. Primero búscase un conxuntu que sía'l representante del $0$ , lo cual ye fácil yá que sabemos que $\emptyset$ nun contién elementos. Depués defínense los siguientes elementos d'una manera atélite col usu del conceutu de socesor.

Definir según Halmos- entós que'l conxuntu vacíu ye un númberu natural que se denota por $0$ y que cada númberu natural $n$ tien un socesor denotado como $n +$ . Estes idees queden formalizaes por aciu les siguientes espresiones:

0 = \emptyset

n + = n \cup {n

}

D'esta manera, cada elementu de dalgún númberu natural ye un númberu natural; esto ye, un antecesor d'él. Por casu:

Por definición $0 = {}$ (lo cual refuerza'l fechu de que $0$ nun tien antecesores)
1 ye'l socesor de 0, entós $1 = 0 + = \emptyset \cup {0} = {0}$
2 ye'l socesor de 1, pero 1 ye {0}, entós $2 = 1 + = {0} \cup {1} = {0, 1}$ .
y polo xeneral

3 = {0, 1, 2}

4 = {0, 1, 2, 3}

5 = {0, 1, 2, 3, 4}

⋮

Esto dexa establecer una rellación d'orde ente los elementos del conxuntu a pesar de qu'un conxuntu ye por naturaleza un agregáu d'elementos desordenaos. Defínese esta rellación por aciu la espresión:

a \leq b \Leftrightarrow a \subseteq b

ye dicir qu'un númberu $a$ ye menor o igual que $b$ si y solu si $b$ contién a tolos elementos de $a$ .

Tamién puede usase otra definición más inmediata a partir del fechu de que cada númberu natural consta de los sos antecesores. Asina $a < b$ si y solu si $a \in b$ .

Esa ye la construcción formal de los naturales que garantiza la so esistencia como conxuntu a la lluz del desenvolvimientu axomáticu Zermelo-Fraenkel. El postuláu de los conxuntos infinitos asegura la validez de la téunica de demostración conocida como inducción matemática.

Un teorema demuestra que cualquier conxuntu que sía inductivu contién a tolos númberos naturales, ye dicir que si $A$ ye un conxuntu inductivu, entós $ℕ \subseteq A$ . Esto significa que, n'efeutu, $ℕ$ ye'l mínimu conxuntu inductivu.

Defínese la suma por inducción por aciu:

a + 0 = a

a + b + = (a + b) +

Lo que convierte a los númberos naturales $(ℕ, +)$ nun monoide conmutativu con elementu neutru 0, el llamáu Monoide Llibre con un xenerador. Esti monoide satisfai la propiedá cancelativa y polo tanto puede incluyise nun grupu matemáticu. El menor grupu que contién a los naturales ye'l de los númberos enteros.

De manera análoga, la multiplicación × definir por aciu les espresiones:

a \times 0 = 0

a \times b + = (a \times b) + a

Esto convierte $(ℕ, \times)$ (esto ye, ℕ con esta nueva operación), nun monoide conmutativu.

Otra forma de construcción de ℕ ye la siguiente: Sía ℱ la clase de tolos conxuntos y vamos definir una rellación binaria $R$ "ser equipotente" de la siguiente manera: Daos $A$ y $B \in ℱ$ dizse qu'A R B ↔ Esiste una aplicación biyectiva de $A$ sobre $B$ , esto ye, esiste $f : A \to B$ biyectiva. Claramente puede demostrase qu'esta rellación verifica les propiedaes reflexiva, simétrica y transitiva depués ye una rellación d'equivalencia al conxuntu cociente $ℱ /R = {[A]/ A \in ℱ$ } vamos llamar cardinales y a los cardinales finitos va llamáse-yos númberos naturales.Les operaciones de suma y productu de cardinales defínense como'l cardinal de la unión y el productu cartesianu de los conxuntos representantes y verifica toles propiedaes por que $(ℕ, +, \times)$ sía un semianillo conmutativu y unitariu.

Operaciones colos númberos naturales

Les operaciones matemátiques que se definen nel conxuntu de los númberos naturales son la suma , la multiplicación y la división.

La suma y la multiplicación de númberos naturales son operaciones conmutatives y asociatives, esto ye:

L'orde de los númberos nun alteria la resultancia (propiedá conmutativa), $a + b = b + a$ , y $a \times b = b \times a$ .

Pa sumar —o multiplicar— trés o más númberos naturales, nun fai falta arrexuntar los númberos d'una manera específica yá que $(a + b) + c = a + (b + c)$ (propiedá asociativa). Esto ye lo que da sentíu a espresiones como $a + b + c$ .

Al construyir la operación de multiplicación de númberos naturales, puede reparase claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pos la multiplicación sería una adición de cantidaes iguales y gracies a esta compatibilidá puede desenvolvese la propiedá distributiva, que s'espresa de la forma:

a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)

Aparte, estos dos operaciones cumplen coles propiedaes de:

Clausura de dambes operaciones pa tolos númberos naturales $a$ y $b$ , yá que $a + b$ y $a \times b$ son siempres númberos naturales.
Esistencia d'elementos neutros pa dambes operaciones, esto ye, pa cada númberu $a$ , $a + 0 = a$ y $a \times 1 = a$ .
Non esistencia de divisor de cero divisores de cero pa la operación de multiplicación: si $a$ y $b$ son númberos naturales tales que $a \times b = 0$ , entós $a = 0$ o $b = 0$ .

Propiedaes de los númberos naturales

Los númberos naturales tán totalmente ordenaos. La rellación d'orde $\leq$ puede redefinise asina: $a \leq b$ si y solu si esiste otru númberu natural $c$ que cumple $a + c = b$ . Esti orde ye compatible con toles operaciones aritmétiques yá que si $a$ , $b$ y $c$ son númberos naturales y $a \leq b$ , entós cumplir:

a + c \leq b + c

a \times c \leq b \times c

Una propiedá importante del conxuntu de los númberos naturales ye que ye un conxuntu bien ordenáu

Pa cualquier elementu $a$ de $A$ esisti $b$ en $A$ tal que $a < b$

Nos númberos naturales esiste'l algoritmu de la división. Daos dos númberos naturales $a$ y $b$ , si $b \neq 0$ , podemos atopar otros dos númberos naturales $q$ y $r$ , denominaos cociente y restu respeutivamente, tales que:

a = (b \times q) + r

y

r < b

Los númberos $q$ y $r$ tán unívocamente determinaos por $a$ y $b$ .

Otres propiedaes más complexes de los númberos naturales, como la distribución de los númberos primos por casu, son estudiaes pola teoría de númberos.

Rellación d'orde La rellación

socesor da-y una estructura d'orde.^[9]

Conceutos globales y d'estructura

Algebraicamente, el conxuntu $ℕ = {0, 1, 2, ... n, ...$ } ye un semigrupo aditivu asociativu con elementu neutru $0$ y semigrupo multiplicativu asociativu con elementu neutru $1$ .^[10]
Topológicamente, ℕ tien la topoloxía cofinita.^[11]
El cardinal de ℕ ye menor que'l cardinal de ℝ.^[12]

Usu de los númberos naturales

Los númberos naturales, son usaos pa dos propósitos fundamentalmente: pa describir la posición d'un elementu nuna secuencia ordenada, como se xeneraliza col conceutu de númberu ordinal, y p'especificar el tamañu d'un conxuntu finito, que de la mesma se xeneraliza nel conceutu de númberu cardinal (teoría de conxuntos). Nel mundu de lo finito, dambos conceutos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a $N$ según los cardinales finitos. Cuando movemos más allá de lo finito, dambos conceutos son distintos.

Otru usu de gran importancia, dende'l puntu de vista matemáticu, ye na construcción de los númberos enteros, pa lo cual en $N \times N$ establezse una rellación d'equivalencia, pa dos pares ordenaos de $N \times N$ :

(a, b) ~ (c, d) \leftrightarrow a + d = b + c

.

Sustracción o resta con númberos naturales

Asumir que $ℕ = {0, 1, 2, 3, ...$ } y sía $H = {(m, n) / m, n \in ℕ; m \geq n$ }, sía $g$ una aplicación de $H$ en $ℕ$ , tal que $g (m, n) = m - n = d \leftrightarrow m = d + n$ , onde $m, n$ tán en $H$ y $d$ ta en $ℕ$ . A l'aplicación $g$ de $H$ sobre $ℕ$ llámase sustracción o resta en $ℕ$ . La diferencia $d = m - n$ , solo ye posible nel casu que $m \geq n$ .

Proposiciones

Si $m - n = p$ , entós $m - p = n$
Si $m - n = p$ , entós $(m + r) - (n + r) = p$
Pa cualesquier $m \in ℕ$ , $m - m = 0$ ;
como $m - 0 = m$ , $0$ fai'l papel d'elementu neutru pela derecha.
Restar nun ye conmutativa nin asociativa.
Si dase $m - n = p$ , esiste una infinidá de númberos naturales $m ´$ y $n ´$ tal que $m ´ - n ´ = p$ ; de manera tal qu'en $ℕ \times ℕ$ la rellación $(m, n) \approx (m ´ , n ´) \leftrightarrow m + n ´ = n + m ´$ define una rellación d'equivalencia, puntu de partida pa la construcción del $ℤ$ de los númberos enteros.^[13]

Observación

Una operación en $A$ definen dellos matemáticos como una aplicación de $A \times A$ en $A$ . Si acepta esto, la sustracción nun ye una operación nel conxuntu de los naturales.^[14]
Si define una aplicación en $H$ , parte mesma de $A \times A$ , en $A$ tal aplicación llámase operación parcialmente definida en $A$ . Almitíu lo anterior, la sustracción ye una operación parcialmente definida nos númberos naturales.^[15]

Topologización de N

Nel conxuntu $ℕ$ de los naturales cabo la topoloxía discreta y la cofinita, tamién dalguna topoloxía d'orde.^[16]

Principiu de permanencia

Ye un teorema venceyáu al sistema de los númberos naturales y les sos ampliaciones aplicativas. Esta proposición espresa que les propiedaes de cálculu avezaos pa los númberos naturales, tamién son llexítimes pa los númberos estructurados por aciu operaciones inverses. Como exemplu: según el principiu de permanencia, les propiedaes de la potenciación siguen válides entá nel casu de númberos con esponentes fraccionarios.

(ab)⁵ = a⁵b⁵ ⇒ (ab)^2/3 = a^2/3 b^2/3 ente otres lleis de la potenciación.^[17]

Ver tamién

Referencies

↑ Por casu, los elementos del intervalu abiertu <0; 1> non pueden cuntase
↑ ^2,0 ^2,1 Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álxebra», Matemátiques 1. Madrid: Grupu Editorial Bruño, Sociedá Llindada, páx. 13. ISBN 9788421659854.
↑ ^3,0 ^3,1 Tsipkin, A. G. Manual de Matemátiques, Edirorial Mir, Moscú (1985), traducción de T. I. Shopovalova
↑ Veanse testos como Jech (2006). . ISBN 978-3-540-44085-7. Devlin (1993). . ISBN 0-387-94094-4. o Kunen (1992). . ISBN 0-444-86839-9.
↑ ^5,0 ^5,1 Vease Welschenbach 2005, p. 4.
↑ Vease Weisstein, Eric W.. «Natural Numbers» (inglés). MathWorld. Consultáu'l 14 d'agostu de 2011.
↑ Cominos (2006). . ISBN 9781852339029., p. 27.
↑ Tal como se presenta na 'discutiniu' d'esti artículu
↑ Consultar en discutiniu d'artículu
↑ Rojas: "Algebra I"
↑ Munkres: "Topoloxía" 2ª edición
↑ Haaser: "Analís real"
↑ "Conceutu de númberu" (1970) Trejo, César, publicación de la OEA; Universidá Nacional de Buenos Aires
↑ Ayres: Álxebra mooderna, compendiu Schaumm
↑ Carranza: Álxebra, Studium, Lima,1973
↑ Munkres: Topoloxía ISBN 978-84-205-3180-9
↑ Diccionarios RIODUERO. Matemática. ISBN 84-220-0832-7

Bibliografía

Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conxuntos. Méxicu D.F.: Sociedá Matemática Mexicana. ISBN 970-32-1392-8.
Hurtado, F. (2 de 1997). Atles de matemátiques, 1, Idea Books, S.A., páx. 12. ISBN 978-84-8236-049-2.
Welschenbach, Michael (2005). Cryptography in C and C++ (n'inglés). Apress. ISBN 9781590595022.

Enllaces esternos

Wikcionariu tien definiciones y otra información tocante a ℕ.

[1] Por casu, los elementos del intervalu abiertu <0; 1> non pueden cuntase

[nn-2] 2,0 ^2,1 Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álxebra», Matemátiques 1. Madrid: Grupu Editorial Bruño, Sociedá Llindada, páx. 13. ISBN 9788421659854.

[tsipkin-3] 3,0 ^3,1 Tsipkin, A. G. Manual de Matemátiques, Edirorial Mir, Moscú (1985), traducción de T. I. Shopovalova

[4] Veanse testos como Jech (2006). . ISBN 978-3-540-44085-7. Devlin (1993). . ISBN 0-387-94094-4. o Kunen (1992). . ISBN 0-444-86839-9.

[Wels-5] 5,0 ^5,1 Vease Welschenbach 2005, p. 4.

[6] Vease Weisstein, Eric W.. «Natural Numbers» (inglés). MathWorld. Consultáu'l 14 d'agostu de 2011.

[7] Cominos (2006). . ISBN 9781852339029., p. 27.

[8] Tal como se presenta na 'discutiniu' d'esti artículu

[9] Consultar en discutiniu d'artículu

[10] Rojas: "Algebra I"

[11] Munkres: "Topoloxía" 2ª edición

[12] Haaser: "Analís real"

[13] "Conceutu de númberu" (1970) Trejo, César, publicación de la OEA; Universidá Nacional de Buenos Aires

[14] Ayres: Álxebra mooderna, compendiu Schaumm

[15] Carranza: Álxebra, Studium, Lima,1973

[16] Munkres: Topoloxía ISBN 978-84-205-3180-9

[17] Diccionarios RIODUERO. Matemática. ISBN 84-220-0832-7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]