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域 (数学)

(重定向自域 (數學)

抽象代数中,(德語:Körper,英語:field)是一种具有加法跟乘法的集合(代数结构),且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上,正是数域以及四则运算的推廣,所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。

「域」的各地常用名稱
中国大陸
臺灣[1]

體是的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法,且體的乘法有交換律。

最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體,例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等,都很常在數學的領域中被使用或是研究,特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。

在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論,由Évariste Galois在1830年代提出,致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果,解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外,還解決了五次方程不能有公式解的問題。

正式定义

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給定集合   ,它具有了以下兩種二元运算

  •   (其中   慣例上簡記為  
  •   (其中   慣例上簡記為    甚至是  

滿足:

  1.  交换群,且其單位元為  
  2.   為交换群。
  3. 分配律:對所有    

那稱「   為體」,當二元运算的符號不重要時,亦可將   簡記為  

慣用符號與稱呼

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(1)體的代號:

有時會基於德语 Körper ,以字母   代稱體,但也會基於英语 Field  代稱。

(2)加法與乘法:

習慣上,  被稱為乘法  的單位元會記為   ,並稱為  乘法單位元

類似地,   被稱為加法  被稱為體的加法單位元。所以在省略括弧後,仍依照先乘後加的方式閱讀。

(3)減法與除法:

對於任意   ,會依據群的習慣,將   的加法逆元素記做   ,並將   簡記為   ,並可暱稱為減法

類似地,若    的乘法逆元素記做   ,並將   簡記為   ,並可暱稱為除法

基本性質

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定理 (1) —   為體,那對任意  

 
證明

根據分配律和加法單位元的性質會有

 
 

這樣的話,根據加法結合律還有加法單位元的性質有

 

 

故得証。 

以上的定理也證明了,只要 交换群且有分配律,就足以決定   相關乘法的值。所以正式定義中把   排除在乘法的交換群之外是不會有問題的。也就是說

系理 乘法交換律 —   為體,那對任意  

 

系理 乘法結合律 —   為體,那對任意  

 

定理 (2) —   為體,那對任意  

 
證明

根據乘法交換律跟分配律有

 

這樣根據定理(1)和加法交換律就有

 

所以

 

再考慮到乘法的交換律有

 

故得証。 

定理 (3) —   為體,若     ,則

 
證明

根據乘法的結合律和交換律,還有乘法單位元的性質會有

 

故得証。 

定理 (4) —   為體,那對任意   ,若   , 則   

證明

如果   ,那對任意   都有   ,所以以下只考慮   狀況。

假設存在   滿足    ,但同時   ,這樣根據定理(1)和(3)有

 

這顯然是矛盾的,所以根據反證法德摩根定理,對所有的   ,只能「   其中一者為   」或「   」,也就等價於:

「對所有   ,若    其中一者為   。」

故得証。 

  • F中的所有非零元素的集合(一般记作F×)是一个關於乘法的阿贝尔群F×的每个有限子群都是循环群
  • 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1(n个1),那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征,特征要么是一个素数p,要么是0(表示这样的n不存在)。此时 中最小的子域分别是 或有限域 ,称之为 素域
  • 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
  • 选择公理成立的假设下,对每个域F都存在着唯一的一个域G(在同构意义上),G包含FGF代数扩张,并且G代数封闭G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的,因此又说GF的一个代数闭包。

例子

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  • 許多常见的数域都是域。比如说,全体複數的集合 與其加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合  與其加法和乘法也是一个域,它是 子域,并且不包含更小的子域了。
  • 代数数域:代数数域是有理数域 有限扩域,也就是说代数数域是 上的有限维向量空间。代数数域都同构于 的子域,并且这个同构保持 不变,即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
  • 代数数构成的域:所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域,记作  是有理数域 的代数闭包(见下)。 是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
  • 全体实数的集合 对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域 的子域,也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
  • 所有的实代数数的集合也构成一个域,它是 的一个子域
  • 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方,一般记作Fq,就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域:F2F2只含有两个元素0和1,运算法则如下:
 
  0 1
0 0 1
1 1 0
  0 1
0 0 0
1 0 1
  • EF是两个域,EF的子域,则FE扩域。设xF中的一个元素,则存在着一个最小的同时包含ExF的子域,记作E (x)E (x)称作EF中关于 x单扩张。比如说,复数域 就是实数域  中关于虚数单位i的单扩张
  • 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域,称为它的分式域,记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类,再将环“嵌入”其中(详见分式域)。可以证明,K(R)是包含R的“最小”的域。
  • F是一个域,定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合,则F (X)F的一个扩域。F (X)F上的一个无穷维的向量空间,这是域的超越扩张的一个例子。
  • F是一个域,p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式,则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说,R[X]/<X2 + 1>是一个域(同构于复数域 )。可以证明,F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
  • V是域F上的一个代數簇,则所有V → F 的有理函数构成一个域,称为V函数域
  • S是一个黎曼曲面,则全体S → C 亚纯函数构成一个域。
  • 由于序数不是集合,因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件,且其任意封闭子集(如小于 的所有自然数构成的子集)都是域。

有限體

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有限體是一個體有著有限多個元素,其元素個數也跟體的階數相同,按照體的定義,可以知道 為最小的有限體,因為根據定義,一個體至少包含兩個元素 

通常來說,最簡單的質數階體,就是 ,此處 為質數,在這個體上的加法與乘法等同於在整數 上的運算,然後除以 ,取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體,通常我們將這個體記作 。要注意的是 ,當n為合成數時並不是一個有限體,例如在    ,因此   不能形成群。

如果我們將向量空間 ,則我們將V稱作有限體向量空間,其中 ,可知這個向量空間中,有 個元素。

如果我們將有限體放入矩陣,也就是 ,則此矩陣的元素有 

歷史

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歷史上,三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題,第二個是代數數論,第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年,由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根x1, x2, x3的置換,在以下的表達

(x1 + ωx2 + ω2x3)3

(其中ω是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上,拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅弗朗索瓦·韋達 的經典解法,其解法藉由簡化三次方程關於未知 x 到一個 x3的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察,拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。

建構體

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伽羅瓦理論

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請參見伽羅瓦理論

體的不變量

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應用

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參見

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參考文獻

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  1. ^ 張幼賢等. 學術名詞編譯系列叢書-數學名詞(第四版). 台北市: 國家教育研究院. 2014: p149 [2019-02-09]. ISBN 9789860440454. (原始内容存档于2020-12-06) (中文(臺灣)).