在抽象代数中,體(德語:Körper,英語:field)是一种具有加法跟乘法的集合(代数结构),且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上,體正是数域以及四则运算的推廣,所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。
體是环的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法,且體的乘法有交換律。
最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體,例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等,都很常在數學的領域中被使用或是研究,特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。
在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論,由Évariste Galois在1830年代提出,致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果,解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外,還解決了五次方程不能有公式解的問題。
給定集合 ,它具有了以下兩種二元运算:
- (其中 慣例上簡記為 )
- (其中 慣例上簡記為 或 甚至是 )
滿足:
- 為交换群,且其單位元為 。
- 為交换群。
- 分配律:對所有 , 且 。
那稱「 為體」,當二元运算的符號不重要時,亦可將 簡記為 。
(1)體的代號:
有時會基於德语 Körper ,以字母 代稱體,但也會基於英语 Field 以 代稱。
(2)加法與乘法:
習慣上, 被稱為乘法, 的單位元會記為 ,並稱為 的乘法單位元。
類似地, 被稱為加法, 被稱為體的加法單位元。所以在省略括弧後,仍依照先乘後加的方式閱讀。
(3)減法與除法:
對於任意 ,會依據群的習慣,將 的加法逆元素記做 ,並將 簡記為 ,並可暱稱為減法。
類似地,若 , 的乘法逆元素記做 ,並將 簡記為 ,並可暱稱為除法。
證明
根據分配律和加法單位元的性質會有
-
-
這樣的話,根據加法結合律還有加法單位元的性質有
故得証。
以上的定理也證明了,只要 為交换群且有分配律,就足以決定 相關乘法的值。所以正式定義中把 排除在乘法的交換群之外是不會有問題的。也就是說
系理 (乘法結合律) — 為體,那對任意 有
-
證明
根據乘法交換律跟分配律有
這樣根據定理(1)和加法交換律就有
-
所以
-
再考慮到乘法的交換律有
-
故得証。
證明
根據乘法的結合律和交換律,還有乘法單位元的性質會有
故得証。
證明
如果 ,那對任意 都有 ,所以以下只考慮 狀況。
假設存在 滿足 和 ,但同時 ,這樣根據定理(1)和(3)有
這顯然是矛盾的,所以根據反證法和德摩根定理,對所有的 ,只能「 其中一者為 」或「 」,也就等價於:
- 「對所有 ,若 則 其中一者為 。」
故得証。
- 域F中的所有非零元素的集合(一般记作F×)是一个關於乘法的阿贝尔群。F×的每个有限子群都是循环群。
- 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1(n个1),那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征,特征要么是一个素数p,要么是0(表示这样的n不存在)。此时 中最小的子域分别是 或有限域 ,称之为 的素域。
- 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
- 在选择公理成立的假设下,对每个域F都存在着唯一的一个域G(在同构意义上),G包含F,G是F的代数扩张,并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的,因此又说G是F的一个代数闭包。
- 許多常见的数域都是域。比如说,全体複數的集合 與其加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合 與其加法和乘法也是一个域,它是 的子域,并且不包含更小的子域了。
- 代数数域:代数数域是有理数域 的有限扩域,也就是说代数数域是 上的有限维向量空间。代数数域都同构于 的子域,并且这个同构保持 不变,即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
- 代数数构成的域:所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域,记作 。 是有理数域 的代数闭包(见下)。 是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
- 全体实数的集合 对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域 的子域,也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
- 所有的实代数数的集合也构成一个域,它是 的一个子域
- 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方,一般记作Fq,就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域:F2。F2只含有两个元素0和1,运算法则如下:
-
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0
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1
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0
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0
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1
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1
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1
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0
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1
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0
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0
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0
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1
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0
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1
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- 设E和F是两个域,E是F的子域,则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素,则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域,记作E (x),E (x)称作E在F中关于 x的单扩张。比如说,复数域 就是实数域 在 中关于虚数单位i的单扩张
- 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域,称为它的分式域,记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类,再将环“嵌入”其中(详见分式域)。可以证明,K(R)是包含R的“最小”的域。
- 设F是一个域,定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合,则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间,这是域的超越扩张的一个例子。
- 设F是一个域,p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式,则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说,R[X]/<X2 + 1>是一个域(同构于复数域 )。可以证明,F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
- 若V是域F上的一个代數簇,则所有V → F 的有理函数构成一个域,称为V的函数域。
- 若S是一个黎曼曲面,则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
- 由于序数的类不是集合,因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件,且其任意封闭子集(如小于 的所有自然数构成的子集)都是域。
有限體是一個體有著有限多個元素,其元素個數也跟體的階數相同,按照體的定義,可以知道 為最小的有限體,因為根據定義,一個體至少包含兩個元素 。
通常來說,最簡單的質數階體,就是 ,此處 為質數,在這個體上的加法與乘法等同於在整數 上的運算,然後除以 ,取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體,通常我們將這個體記作 。要注意的是 ,當n為合成數時並不是一個有限體,例如在 中 ,因此 不能形成群。
如果我們將向量空間 ,則我們將V稱作有限體向量空間,其中 ,可知這個向量空間中,有 個元素。
如果我們將有限體放入矩陣,也就是 ,則此矩陣的元素有
歷史上,三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題,第二個是代數數論,第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年,由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根x1, x2, x3的置換,在以下的表達
(x1 + ωx2 + ω2x3)3
(其中ω是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上,拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅 和 弗朗索瓦·韋達 的經典解法,其解法藉由簡化三次方程關於未知 x 到一個 x3的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察,拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。