圆锥

正圆锥是基本的旋转体之一，由直角三角形以其中一条直角边所在的直线为旋转轴进行旋转得到。三角形的斜边长称为圆锥的母线。

設圆锥的底面圓半徑为${\displaystyle r}$ ，圆锥的高为${\displaystyle h}$ ，底面圆面积为${\displaystyle S}$ ，体积为${\displaystyle V}$ ，那么圆锥体的体积可以通过以下公式计算：

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}$ 

其中底面圆面积：${\displaystyle S=\pi r^{2}.}$ 

圆锥的体积公式可以从祖暅原理推出。祖暅原理说明，如果两个高度相同的立体形体在所有等高截面上面积都相等，那么它们体积相等。以圆锥底面为基准面，放置一个底面积为${\displaystyle \pi r^{2}}$ 的正方锥，那么，在任何的高度${\displaystyle 0\leq x\leq h}$ 上，与基准面平行的平面截圆锥的截面面积都等于截正方锥的截面面积。所以圆锥的体积等于正方锥的体积，也就是${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$ 。^[1]另外，用现代的定积分方法也可以直接计算圆锥的体积公式，方法如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\pi \int \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}\,\mathrm {d} z&=\pi \int _{0}^{h}\left[{\frac {\left(h-z\right)r}{h}}\right]^{2}\,\mathrm {d} z&={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\end{aligned}}}$ 

圓錐的母线是一條從圓上的任何一點到錐體的頂點的直線，可被表達成${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ ，其中 ${\displaystyle r}$  是圓錐底部的半徑，${\displaystyle h}$  是圓錐的高度。這可以由勾股定理證明。

正圆锥的侧面可以展开为平面上的一个扇形。这个扇形所在的圆半径就是圆锥的母线，对应的圆弧长为底部圆形的周长。设圆锥的母线为${\displaystyle l}$ ，斜高可以表示为：${\displaystyle l={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ 。设圆锥的表面積为${\displaystyle S_{t}}$ ，侧面积为${\displaystyle S_{c}}$ ，侧面积（也就是扇形的面积）可以用以下公式计算：

${\displaystyle S_{c}=\pi rl=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ 

表面积等于侧面积与底面圆面积的和，也就是：

${\displaystyle S_{t}=S+S_{c}=\pi r^{2}+\pi rl=\pi r(r+l)=\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right).}$ 

一个实心且质地均匀的正圆锥的重心在其底面与顶点连线上，位于顶点下${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$ 处。

• 棱錐：底面不同
• 圓柱：頂面不同